与えられた式 $(x+1)(x+2)(x+9)(x+10) - 180$ を因数分解する問題です。

1. 問題の内容

与えられた式 $(x+1)(x+2)(x+9)(x+10) - 180$ を因数分解する問題です。

2. 解き方の手順

まずは、式を展開しやすいように項の順番を入れ替えます。

$(x+1)(x+10)(x+2)(x+9) - 180$

次に、$(x+1)(x+10)$と$(x+2)(x+9)$をそれぞれ展開します。

$(x+1)(x+10) = x^2 + 11x + 10$

$(x+2)(x+9) = x^2 + 11x + 18$

$x^2 + 11x = A$ と置換します。すると、式は以下のようになります。

$(A+10)(A+18) - 180$

これを展開します。

$A^2 + 28A + 180 - 180 = A^2 + 28A$

$A$ を元に戻します。

$(x^2 + 11x)^2 + 28(x^2 + 11x)$

$x^2 + 11x$ で括ります。

$(x^2 + 11x)(x^2 + 11x + 28)$

さらに、$x^2 + 11x + 28$ を因数分解します。足して11、掛けて28になる組み合わせは4と7なので、

$x^2 + 11x + 28 = (x+4)(x+7)$

したがって、

$(x^2 + 11x)(x+4)(x+7) = x(x+11)(x+4)(x+7)$

3. 最終的な答え

$x(x+4)(x+7)(x+11)$