与えられた6つの式をそれぞれ因数分解する問題です。 (1) $x^3 + 27$ (2) $64a^3 - 27$ (3) $1 - x^3$ (4) $8x^3 - y^3$ (5) $125a^3 + 8b^3$ (6) $x^3 - y^3z^3$

1. 問題の内容

与えられた6つの式をそれぞれ因数分解する問題です。

(1) $x^3 + 27$

(2) $64a^3 - 27$

(3) $1 - x^3$

(4) $8x^3 - y^3$

(5) $125a^3 + 8b^3$

(6) $x^3 - y^3z^3$

2. 解き方の手順

これらの式は、$A^3 + B^3 = (A+B)(A^2 - AB + B^2)$ または $A^3 - B^3 = (A-B)(A^2 + AB + B^2)$ の公式を利用して因数分解できます。

(1) $x^3 + 27 = x^3 + 3^3$

$A = x$, $B = 3$ とすると、

$x^3 + 3^3 = (x + 3)(x^2 - 3x + 9)$

(2) $64a^3 - 27 = (4a)^3 - 3^3$

$A = 4a$, $B = 3$ とすると、

$(4a)^3 - 3^3 = (4a - 3)((4a)^2 + (4a)(3) + 3^2) = (4a - 3)(16a^2 + 12a + 9)$

(3) $1 - x^3 = 1^3 - x^3$

$A = 1$, $B = x$ とすると、

$1^3 - x^3 = (1 - x)(1^2 + (1)(x) + x^2) = (1 - x)(1 + x + x^2)$

(4) $8x^3 - y^3 = (2x)^3 - y^3$

$A = 2x$, $B = y$ とすると、

$(2x)^3 - y^3 = (2x - y)((2x)^2 + (2x)(y) + y^2) = (2x - y)(4x^2 + 2xy + y^2)$

(5) $125a^3 + 8b^3 = (5a)^3 + (2b)^3$

$A = 5a$, $B = 2b$ とすると、

$(5a)^3 + (2b)^3 = (5a + 2b)((5a)^2 - (5a)(2b) + (2b)^2) = (5a + 2b)(25a^2 - 10ab + 4b^2)$

(6) $x^3 - y^3z^3 = x^3 - (yz)^3$

$A = x$, $B = yz$ とすると、

$x^3 - (yz)^3 = (x - yz)(x^2 + x(yz) + (yz)^2) = (x - yz)(x^2 + xyz + y^2z^2)$

3. 最終的な答え

(1) $(x + 3)(x^2 - 3x + 9)$

(2) $(4a - 3)(16a^2 + 12a + 9)$

(3) $(1 - x)(1 + x + x^2)$

(4) $(2x - y)(4x^2 + 2xy + y^2)$

(5) $(5a + 2b)(25a^2 - 10ab + 4b^2)$

(6) $(x - yz)(x^2 + xyz + y^2z^2)$