$a > \sqrt{2}$ を満たすとき、次の3つの数 $\frac{a+2}{a+1}$, $\frac{a}{2} + \frac{1}{a}$, $\sqrt{2}$ を小さい順に並べよ。

1. 問題の内容

$a > \sqrt{2}$ を満たすとき、次の3つの数 $\frac{a+2}{a+1}$, $\frac{a}{2} + \frac{1}{a}$, $\sqrt{2}$ を小さい順に並べよ。

2. 解き方の手順

まず、$a > \sqrt{2}$ という条件から、具体的な値で評価してみます。例えば、$a = 2$ とすると、それぞれの値は

$\frac{a+2}{a+1} = \frac{2+2}{2+1} = \frac{4}{3} \approx 1.33$

$\frac{a}{2} + \frac{1}{a} = \frac{2}{2} + \frac{1}{2} = 1 + \frac{1}{2} = \frac{3}{2} = 1.5$

$\sqrt{2} \approx 1.41$

となり、$\frac{4}{3} < \sqrt{2} < \frac{3}{2}$ と予想できます。

一般的に比較するために、それぞれの差を計算します。

まず、$\frac{a+2}{a+1}$ と $\sqrt{2}$ の差を考えます。

$\frac{a+2}{a+1} - \sqrt{2} = \frac{a+2 - \sqrt{2}(a+1)}{a+1} = \frac{(1-\sqrt{2})a + (2-\sqrt{2})}{a+1}$

$a > \sqrt{2}$ なので、$a+1 > 0$ です。

$1-\sqrt{2} < 0$ であり、$2-\sqrt{2} > 0$ です。

$a = \sqrt{2}$ のとき $\frac{(1-\sqrt{2})\sqrt{2} + (2-\sqrt{2})}{\sqrt{2}+1} = \frac{\sqrt{2} - 2 + 2 - \sqrt{2}}{\sqrt{2}+1} = 0$

$a > \sqrt{2}$ のとき $\frac{(1-\sqrt{2})a + (2-\sqrt{2})}{a+1} < 0$

したがって、$\frac{a+2}{a+1} < \sqrt{2}$ です。

次に、$\sqrt{2}$ と $\frac{a}{2} + \frac{1}{a}$ の差を考えます。

$\frac{a}{2} + \frac{1}{a} - \sqrt{2} = \frac{a^2 - 2\sqrt{2}a + 2}{2a} = \frac{(a-\sqrt{2})^2}{2a}$

$a > \sqrt{2} > 0$ なので、$2a > 0$ であり、$(a-\sqrt{2})^2 > 0$ です。

したがって、$\frac{(a-\sqrt{2})^2}{2a} > 0$ より、$\sqrt{2} < \frac{a}{2} + \frac{1}{a}$ です。

以上より、$\frac{a+2}{a+1} < \sqrt{2} < \frac{a}{2} + \frac{1}{a}$ となります。

3. 最終的な答え

$\frac{a+2}{a+1}, \sqrt{2}, \frac{a}{2} + \frac{1}{a}$