画像に掲載されている数学の問題を解きます。内容は以下の通りです。 (1) 計算問題: (a), (b), (c) (2) 因数分解: (a), (b) (3) 分母の有理化 (4) 二次方程式を解く (5) 二次方程式の解と係数の関係 (6) 二次関数の最大値・最小値 (7) 三角形の角度を求める

1. 問題の内容

画像に掲載されている数学の問題を解きます。内容は以下の通りです。

(1) 計算問題: (a), (b), (c)

(2) 因数分解: (a), (b)

(3) 分母の有理化

(4) 二次方程式を解く

(5) 二次方程式の解と係数の関係

(6) 二次関数の最大値・最小値

(7) 三角形の角度を求める

2. 解き方の手順

以下、問題ごとに手順と解答を記述します。

(1) 計算問題

(a) $21 \times 12 + 12 \times (-5) + 34 \times 12$

$= 12 \times (21 - 5 + 34) = 12 \times 50 = 600$

(b) $-\frac{5}{2} + 0.5 - 3(-\frac{16}{15} + 1)$

$= -\frac{5}{2} + \frac{1}{2} - 3(-\frac{16}{15} + \frac{15}{15})$

$= -\frac{4}{2} - 3(-\frac{1}{15})$

$= -2 + \frac{1}{5} = -\frac{10}{5} + \frac{1}{5} = -\frac{9}{5}$

(c) $-(-2)^3 + 1 - (-6) \times (-2)^2$

$= -(-8) + 1 - (-6) \times 4$

$= 8 + 1 - (-24) = 9 + 24 = 33$

(2) 因数分解

(a) $x^2 - x - 12 = (x - 4)(x + 3)$

(b) $2x^2 - 6xy + x + 3y - 1$

$= 2x^2 + (1 - 6y)x + (3y - 1)$

$= (2x + a)(x + b) = 2x^2 + (a + 2b)x + ab$

ここで、$a + 2b = 1 - 6y$ かつ $ab = 3y - 1$となる$a, b$を求める。

$a = 1 - 2y$とすると、$b = \frac{3y-1}{1 - 2y}$となるので、うまくいかない。

$2x^2 - 6xy + x + 3y - 1 = 2x^2 + x - 1 - 6xy + 3y = (2x - 3y + 1)(x -1)$

$2x^2 - 6xy + x + 3y - 1 = (2x - 1)(x-3y+1)$

(3) 分母の有理化

$\frac{2\sqrt{6} + \sqrt{2}}{\sqrt{6} - \sqrt{2}} = \frac{(2\sqrt{6} + \sqrt{2})(\sqrt{6} + \sqrt{2})}{(\sqrt{6} - \sqrt{2})(\sqrt{6} + \sqrt{2})}$

$= \frac{2 \times 6 + 2\sqrt{12} + \sqrt{12} + 2}{6 - 2} = \frac{12 + 3\sqrt{12} + 2}{4} = \frac{14 + 3\sqrt{4 \times 3}}{4}$

$= \frac{14 + 6\sqrt{3}}{4} = \frac{7 + 3\sqrt{3}}{2}$

(4) 二次方程式を解く

$5x - 10 = 15$ より $5x = 25$ なので $x = 5$

(5) 二次方程式の解と係数の関係

$2x^2 - (a+3)x - a^2 + 1 = 0$ の一つの解が-2なので、

$2(-2)^2 - (a+3)(-2) - a^2 + 1 = 0$

$8 + 2a + 6 - a^2 + 1 = 0$

$-a^2 + 2a + 15 = 0$

$a^2 - 2a - 15 = 0$

$(a - 5)(a + 3) = 0$

$a = 5$ または $a = -3$

$a$は自然数なので$a = 5$

$2x^2 - 8x - 24 = 0$

$x^2 - 4x - 12 = 0$

$(x - 6)(x + 2) = 0$

$x = 6$ または $x = -2$

したがって、他の解は $x = 6$

(6) 二次関数の最大値・最小値

$y = -3x^2 + 12x + 2$

$y = -3(x^2 - 4x) + 2$

$y = -3(x^2 - 4x + 4 - 4) + 2$

$y = -3(x - 2)^2 + 12 + 2 = -3(x - 2)^2 + 14$

軸は $x = 2$

$-1 \le x \le 4$における最大値は$x = 2$のとき$y = 14$

最小値は $x = -1$のとき$y = -3(-1 - 2)^2 + 14 = -3(9) + 14 = -27 + 14 = -13$

(7) 三角形の角度を求める

余弦定理より、

$\cos(\angle BAC) = \frac{AB^2 + CA^2 - BC^2}{2 \times AB \times CA} = \frac{4^2 + 3^2 - (\sqrt{13})^2}{2 \times 4 \times 3} = \frac{16 + 9 - 13}{24} = \frac{12}{24} = \frac{1}{2}$

$\angle BAC = 60^\circ$

3. 最終的な答え

(1) (a) アイウ = 600, (b) エオカ/キ = -9/5, (c) クケ = 33

(2) (a) コ = 4, サ = 3, (b) シ = 2, ス = 1, セ = 3, ソ = 1

(3) タ = 7, チ = 3, ツ = 3, テ = 2

(4) トナ = 5

(5) ヌ = 5, ネ = 6

(6) ノ = 2, ハ = 2, ヒフ = 14, ヘホ = -1, マミム = -13

(7) メモ = 60