$a > \sqrt{2}$ を満たすとき、次の3つの数 $\frac{a+2}{a+1}$, $\frac{a}{2}$, $\sqrt{2}$ を小さい順に並べよ。

1. 問題の内容

$a > \sqrt{2}$ を満たすとき、次の3つの数 $\frac{a+2}{a+1}$, $\frac{a}{2}$, $\sqrt{2}$ を小さい順に並べよ。

2. 解き方の手順

まず、$a>\sqrt{2}$ であるから、$a$ は正の数である。

(1) $\frac{a+2}{a+1} - \sqrt{2}$ の符号を調べる。

$\frac{a+2}{a+1} - \sqrt{2} = \frac{a+2-\sqrt{2}(a+1)}{a+1} = \frac{(1-\sqrt{2})a + (2-\sqrt{2})}{a+1}$

$1-\sqrt{2} < 0$ であり、$2-\sqrt{2} > 0$ である。

$a > \sqrt{2}$ なので、$(1-\sqrt{2})a < (1-\sqrt{2})\sqrt{2} = \sqrt{2} - 2$

$(1-\sqrt{2})a + (2-\sqrt{2}) < (\sqrt{2} - 2) + (2 - \sqrt{2}) = 0$

したがって、$\frac{a+2}{a+1} - \sqrt{2} < 0$ である。つまり、$\frac{a+2}{a+1} < \sqrt{2}$ である。

(2) $\frac{a}{2} - \sqrt{2}$ の符号を調べる。

$\frac{a}{2} - \sqrt{2} = \frac{a - 2\sqrt{2}}{2}$

$a>\sqrt{2}$ である。$a$ の値によって、$\frac{a}{2}$ と $\sqrt{2}$ の大小関係は変化する。

例：$a=3$ のとき、$\frac{3}{2} < \sqrt{2}$　ではない。$\frac{a}{2}$ は $\sqrt{2}$ より小さいとは限らない。

$a=2\sqrt{2}$ ならば、$\frac{a}{2}=\sqrt{2}$。$a > 2\sqrt{2}$ ならば、$\frac{a}{2}>\sqrt{2}$。$\sqrt{2} < a < 2\sqrt{2}$ならば、$\frac{a}{2} < \sqrt{2}$

(3) $\frac{a+2}{a+1} - \frac{a}{2}$ の符号を調べる。

$\frac{a+2}{a+1} - \frac{a}{2} = \frac{2(a+2) - a(a+1)}{2(a+1)} = \frac{2a+4-a^2-a}{2(a+1)} = \frac{-a^2+a+4}{2(a+1)}$

$-a^2 + a + 4 = 0$ を解くと、$a = \frac{-1 \pm \sqrt{1+16}}{-2} = \frac{1 \pm \sqrt{17}}{2}$

$a > \sqrt{2}$ であるので、$\frac{1+\sqrt{17}}{2}$ と $\frac{a+2}{a+1} - \frac{a}{2}$ の符号の関係を調べる。

$\frac{1+\sqrt{17}}{2} \approx \frac{1+4.12}{2} \approx 2.56$

$\sqrt{2} \approx 1.41$ なので、$a$ の範囲を $\sqrt{2} < a < \frac{1+\sqrt{17}}{2}$ と$\frac{1+\sqrt{17}}{2}< a$ で分ける。

$a=2$のとき、$\frac{a+2}{a+1} = \frac{4}{3}$、$\frac{a}{2} = \frac{2}{2} = 1$、$\sqrt{2} \approx 1.41$

$1<\frac{4}{3}<\sqrt{2}$

$a=3$のとき、$\frac{a+2}{a+1} = \frac{5}{4}$、$\frac{a}{2} = \frac{3}{2}$、$\sqrt{2} \approx 1.41$

$\frac{5}{4} < \sqrt{2} < \frac{3}{2}$

$\frac{a}{2} < \frac{a+2}{a+1} < \sqrt{2}$　とはならない。

$\frac{a+2}{a+1} < \sqrt{2} < \frac{a}{2}$ともならない。

$\frac{a+2}{a+1} < \frac{a}{2} < \sqrt{2}$が正しい

$\frac{a+2}{a+1}$は$a$が増加すると小さくなる。$\frac{a}{2}$は$a$が増加すると大きくなる。

$a > \sqrt{2}$のとき、常に$\frac{a+2}{a+1} < \sqrt{2}$

$a > \frac{1+\sqrt{17}}{2}$のとき、$\frac{a+2}{a+1} < \frac{a}{2}$

$\frac{a+2}{a+1} < \frac{a}{2} < \sqrt{2}$

3. 最終的な答え

$\frac{a+2}{a+1}, \frac{a}{2}, \sqrt{2}$