与えられた二つの問題について、指定された項の係数を求める。さらに、二項定理を利用して、与えられた二つの式の値を求める。

1. 問題の内容

与えられた二つの問題について、指定された項の係数を求める。さらに、二項定理を利用して、与えられた二つの式の値を求める。

2. 解き方の手順

(1) $(1-3x)^7$ の展開式における $x^2$ の項の係数を求める。

二項定理より、$(1-3x)^7$ の展開式の一般項は ${}_7 C_r (1)^{7-r} (-3x)^r = {}_7 C_r (-3)^r x^r$ である。$x^2$ の項を求めるので、$r=2$ とすると、${}_7 C_2 (-3)^2 x^2 = {}_7 C_2 \cdot 9 x^2$ となる。${}_7 C_2 = \frac{7 \cdot 6}{2 \cdot 1} = 21$ なので、$21 \cdot 9 x^2 = 189 x^2$。したがって、$x^2$ の係数は189である。

(2) $(2+x^2)^{10}$ の展開式における $x^{14}$ の項の係数を求める。

二項定理より、$(2+x^2)^{10}$ の展開式の一般項は ${}_{10} C_r (2)^{10-r} (x^2)^r = {}_{10} C_r 2^{10-r} x^{2r}$ である。$x^{14}$ の項を求めるので、$2r = 14$ より $r=7$ となる。よって、${}_{10} C_7 2^{10-7} x^{14} = {}_{10} C_7 2^3 x^{14} = {}_{10} C_3 \cdot 8 x^{14}$ となる。${}_{10} C_3 = \frac{10 \cdot 9 \cdot 8}{3 \cdot 2 \cdot 1} = 10 \cdot 3 \cdot 4 = 120$ なので、$120 \cdot 8 x^{14} = 960 x^{14}$。したがって、$x^{14}$ の係数は960である。

(3) $(1+x)^{10}$ の展開式を利用して、次の値を求める。

(1) ${}_{10} C_0 + {}_{10} C_1 + {}_{10} C_2 + \dots + {}_{10} C_{10}$

$(1+x)^{10} = \sum_{k=0}^{10} {}_{10} C_k x^k$ において、$x=1$ を代入すると、$(1+1)^{10} = \sum_{k=0}^{10} {}_{10} C_k (1)^k = {}_{10} C_0 + {}_{10} C_1 + {}_{10} C_2 + \dots + {}_{10} C_{10}$ となる。よって、${}_{10} C_0 + {}_{10} C_1 + {}_{10} C_2 + \dots + {}_{10} C_{10} = 2^{10} = 1024$

(2) ${}_{10} C_0 - {}_{10} C_1 + {}_{10} C_2 - \dots + {}_{10} C_{10}$

$(1+x)^{10} = \sum_{k=0}^{10} {}_{10} C_k x^k$ において、$x=-1$ を代入すると、$(1-1)^{10} = \sum_{k=0}^{10} {}_{10} C_k (-1)^k = {}_{10} C_0 - {}_{10} C_1 + {}_{10} C_2 - \dots + {}_{10} C_{10}$ となる。よって、${}_{10} C_0 - {}_{10} C_1 + {}_{10} C_2 - \dots + {}_{10} C_{10} = 0^{10} = 0$

3. 最終的な答え

(1) 189

(2) 960

(3) (1) 1024 (2) 0