二次関数 $y = -2x^2 - 4x + 2$ の $-2 \le x \le 2$ における最大値と最小値を求めよ。画像には最小値が 4 と書いてあるが、これが正しいかどうかも含めて検証する。

1. 問題の内容

二次関数 $y = -2x^2 - 4x + 2$ の $-2 \le x \le 2$ における最大値と最小値を求めよ。画像には最小値が 4 と書いてあるが、これが正しいかどうかも含めて検証する。

2. 解き方の手順

まず、与えられた二次関数を平方完成します。

$y = -2x^2 - 4x + 2 = -2(x^2 + 2x) + 2$

$y = -2(x^2 + 2x + 1 - 1) + 2 = -2((x+1)^2 - 1) + 2$

$y = -2(x+1)^2 + 2 + 2 = -2(x+1)^2 + 4$

したがって、二次関数は $y = -2(x+1)^2 + 4$ と表せます。

この式から、頂点の座標は $(-1, 4)$ であり、上に凸のグラフであることがわかります。

次に、定義域 $-2 \le x \le 2$ における最大値と最小値を考えます。

頂点の $x$ 座標は $-1$ であり、これは定義域に含まれています。したがって、最大値は頂点の $y$ 座標である $4$ です。

最小値は、定義域の端点である $x = -2$ または $x = 2$ のどちらかで発生します。

$x = -2$ のとき、$y = -2(-2+1)^2 + 4 = -2(-1)^2 + 4 = -2 + 4 = 2$

$x = 2$ のとき、$y = -2(2+1)^2 + 4 = -2(3)^2 + 4 = -18 + 4 = -14$

したがって、最小値は $-14$ です。

3. 最終的な答え

最大値: 4

最小値: -14