(1) 不等式 $0 < \frac{2}{3}\sqrt{アイウ} - \frac{10}{3}$ と $\frac{7}{2} - 2\sqrt{3} = \frac{\sqrt{49} - \sqrt{エオ}}{2} > 0$ を解く。 (2) 実数 $t$ について、$\frac{10}{3} < t < \frac{7}{2}$ であることが $3.3 < t < 3.5$ であるための条件を選ぶ。 (3) $a$ を $0$ 以上の整数の定数として、$x$ の不等式 $|x - 2\sqrt{3}| < \frac{2a+1}{10}$ を考える。 (i) $a=2$ のとき、不等式を満たす整数 $x$ を求める。 (ii) 不等式を満たす奇数 $x$ がちょうど $2$ 個である整数 $a$ は全部で何個あるか求める。

1. 問題の内容

(1) 不等式 $0 < \frac{2}{3}\sqrt{アイウ} - \frac{10}{3}$ と $\frac{7}{2} - 2\sqrt{3} = \frac{\sqrt{49} - \sqrt{エオ}}{2} > 0$ を解く。

(2) 実数 $t$ について、$\frac{10}{3} < t < \frac{7}{2}$ であることが $3.3 < t < 3.5$ であるための条件を選ぶ。

(3) $a$ を $0$ 以上の整数の定数として、$x$ の不等式 $|x - 2\sqrt{3}| < \frac{2a+1}{10}$ を考える。

(i) $a=2$ のとき、不等式を満たす整数 $x$ を求める。

(ii) 不等式を満たす奇数 $x$ がちょうど $2$ 個である整数 $a$ は全部で何個あるか求める。

2. 解き方の手順

(1)

まず、$0 < \frac{2}{3}\sqrt{アイウ} - \frac{10}{3}$ を解く。

$\frac{2}{3}\sqrt{アイウ} > \frac{10}{3}$

$\sqrt{アイウ} > 5$

$アイウ > 25$

したがって、$アイウ = 25$。

次に、$\frac{7}{2} - 2\sqrt{3} = \frac{\sqrt{49} - \sqrt{エオ}}{2} > 0$ を解く。

$\frac{7}{2} - 2\sqrt{3} = \frac{\sqrt{49} - \sqrt{12}}{2} > 0$

したがって、$エオ = 12$。

(2)

$\frac{10}{3} < t < \frac{7}{2}$ であることは $3.3 < t < 3.5$ であるための条件を考える。

$\frac{10}{3} = 3.333...$ なので、$\frac{10}{3} < t$ は $3.3 < t$ の必要条件。

$\frac{7}{2} = 3.5$ なので、$t < \frac{7}{2}$ は $t < 3.5$ の必要条件。

よって、$\frac{10}{3} < t < \frac{7}{2}$ は $3.3 < t < 3.5$ の必要条件だが、十分条件ではない。

(3)

(i) $a=2$ のとき、$|x - 2\sqrt{3}| < \frac{2(2)+1}{10} = \frac{5}{10} = \frac{1}{2}$

$- \frac{1}{2} < x - 2\sqrt{3} < \frac{1}{2}$

$2\sqrt{3} - \frac{1}{2} < x < 2\sqrt{3} + \frac{1}{2}$

$2\sqrt{3} \approx 2(1.732) = 3.464$

$3.464 - 0.5 < x < 3.464 + 0.5$

$2.964 < x < 3.964$

整数 $x$ は $3$ のみ。

したがって、$キ = 3$。

(ii)

$|x - 2\sqrt{3}| < \frac{2a+1}{10}$

$-\frac{2a+1}{10} < x - 2\sqrt{3} < \frac{2a+1}{10}$

$2\sqrt{3} - \frac{2a+1}{10} < x < 2\sqrt{3} + \frac{2a+1}{10}$

奇数 $x$ がちょうど $2$ 個であるためには、$2\sqrt{3} \approx 3.464$ なので、奇数 $x=1, 3, 5, ...$ が入る可能性がある。

$x=1, 3$ が含まれる時、$2\sqrt{3} - \frac{2a+1}{10} < 1 < 2\sqrt{3} + \frac{2a+1}{10}$ かつ $2\sqrt{3} - \frac{2a+1}{10} < 3 < 2\sqrt{3} + \frac{2a+1}{10}$

$x=3, 5$ が含まれる時、$2\sqrt{3} - \frac{2a+1}{10} < 3 < 2\sqrt{3} + \frac{2a+1}{10}$ かつ $2\sqrt{3} - \frac{2a+1}{10} < 5 < 2\sqrt{3} + \frac{2a+1}{10}$

$3.464 - \frac{2a+1}{10} < 3$ かつ $5 < 3.464 + \frac{2a+1}{10}$ を満たす場合、$x=3, 5$ が含まれ、さらに $2\sqrt{3} - \frac{2a+1}{10} > 1$ となれば奇数は $3, 5$ のみ。

$3.464 - 3 < \frac{2a+1}{10}$ なので $4.64 < \frac{2a+1}{10} \rightarrow 46.4 < 2a+1$

$5 - 3.464 < \frac{2a+1}{10}$ なので $15.36 < 2a+1 \rightarrow 7.18 < a$ なので $a>7$

$1 < 3.464 - \frac{2a+1}{10}$ なので $10 < 34.64 - 2a - 1 \rightarrow 2a < 23.64 \rightarrow a < 11.82$ なので $a < 12$

よって、$a = 8, 9, 10, 11$ なので $4$ 個。

3. 最終的な答え

(1) アイウ = 25, エオ = 12

(2) カ: 0

(3) (i) キ: 1

(ii) ク: 4