$x^2 + (3y - 6)x + (2y^2 - 11y + 5)$

## 問題の内容

画像に書かれた問題のうち、(5)の問題を解きます。問題は以下の式を因数分解することです。

$x^2 + 3xy + 2y^2 - 6x - 11y + 5$

## 解き方の手順

1. $x$ について整理します。

$x^2 + (3y - 6)x + (2y^2 - 11y + 5)$

2. 定数項を因数分解します。$2y^2 - 11y + 5 = (2y - 1)(y - 5)$

3. 全体の式を因数分解できると仮定して、$ (x + ay + b)(x + cy + d)$ の形を考えます。このとき、$ac = 2$ であり、$b \times d = 5$ となる組み合わせを見つけます。また、$a + c = 3$ および $b + d = -6$ となる必要があります。

4. $(x + ay + b)(x + cy + d)$ を展開すると、

$x^2 + (a+c)xy + acy^2 + (b+d)x + (ad+bc)y + bd$

となり、与えられた式と比較すると

$a+c=3$

$ac=2$

$b+d=-6$

$bd=5$

$ad+bc=-11$

を満たすような$a,b,c,d$を探すことになります。

$ac = 2$ より、$a=1$, $c=2$ または $a=2$, $c=1$ が考えられます。

$bd=5$ より、$b=-1$, $d=-5$ または $b=-5$, $d=-1$ が考えられます。

$a=1$, $c=2$, $b=-1$, $d=-5$のとき $a+c=1+2=3$ , $b+d=-1-5=-6$, $ad+bc=-5-2=-7$となり条件を満たしません。

$a=1$, $c=2$, $b=-5$, $d=-1$のとき $a+c=1+2=3$ , $b+d=-5-1=-6$, $ad+bc=-1-10=-11$となり条件を満たします。

よって、$a=1$, $c=2$, $b=-5$, $d=-1$となります。

5. したがって、因数分解の結果は $(x + y - 5)(x + 2y - 1)$ となります。

## 最終的な答え

$(x + y - 5)(x + 2y - 1)$