問題は、与えられた条件を満たす多項式 $A$ を求めるものです。 (1) 多項式 $A$ を $x+2$ で割ると、商が $x+3$、余りが $-1$ となる。 (2) 多項式 $A$ を $x^2+2x+3$ で割ると、商が $x-1$、余りが $2x+3$ となる。

1. 問題の内容

問題は、与えられた条件を満たす多項式 $A$ を求めるものです。

(1) 多項式 $A$ を $x+2$ で割ると、商が $x+3$、余りが $-1$ となる。

(2) 多項式 $A$ を $x^2+2x+3$ で割ると、商が $x-1$、余りが $2x+3$ となる。

2. 解き方の手順

多項式の割り算における基本公式 $A = BQ + R$ を利用します。ここで、$A$ は割られる多項式、$B$ は割る多項式、$Q$ は商、$R$ は余りを表します。

(1) $A$ を $x+2$ で割ると、商が $x+3$、余りが $-1$ なので、以下の式が成り立ちます。

$$A = (x+2)(x+3) - 1$$

これを展開して整理します。

$$A = x^2 + 3x + 2x + 6 - 1$$

$$A = x^2 + 5x + 5$$

(2) $A$ を $x^2+2x+3$ で割ると、商が $x-1$、余りが $2x+3$ なので、以下の式が成り立ちます。

$$A = (x^2+2x+3)(x-1) + 2x+3$$

これを展開して整理します。

$$A = x^3 - x^2 + 2x^2 - 2x + 3x - 3 + 2x + 3$$

$$A = x^3 + x^2 + 3x$$

3. 最終的な答え

(1) $A = x^2 + 5x + 5$

(2) $A = x^3 + x^2 + 3x$