複素数 $z = \frac{-1 + \sqrt{3}i}{\sqrt{3} - i}$ が与えられたとき、$z^{12}$ の値と $z^{2024}$ の値を求める問題です。$z^{2024}$ の値は $\frac{A + \sqrt{B}i}{2}$ の形で表されます。

1. 問題の内容

複素数 $z = \frac{-1 + \sqrt{3}i}{\sqrt{3} - i}$ が与えられたとき、$z^{12}$ の値と $z^{2024}$ の値を求める問題です。$z^{2024}$ の値は $\frac{A + \sqrt{B}i}{2}$ の形で表されます。

2. 解き方の手順

まず、$z$ を簡単にします。分母の有理化を行います。

$z = \frac{-1 + \sqrt{3}i}{\sqrt{3} - i} = \frac{(-1 + \sqrt{3}i)(\sqrt{3} + i)}{(\sqrt{3} - i)(\sqrt{3} + i)} = \frac{-\sqrt{3} - i + 3i + \sqrt{3}i^2}{3 - i^2} = \frac{-\sqrt{3} - i + 3i - \sqrt{3}}{3 + 1} = \frac{-2\sqrt{3} + 2i}{4} = \frac{-\sqrt{3} + i}{2}$

$z = \frac{-\sqrt{3}}{2} + \frac{1}{2}i$

次に、$z$ を極形式で表します。

$r = \sqrt{\left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^2 + \left(\frac{1}{2}\right)^2} = \sqrt{\frac{3}{4} + \frac{1}{4}} = \sqrt{\frac{4}{4}} = 1$

$\cos\theta = -\frac{\sqrt{3}}{2}, \sin\theta = \frac{1}{2}$ なので $\theta = \frac{5\pi}{6}$ です。

よって $z = \cos\left(\frac{5\pi}{6}\right) + i\sin\left(\frac{5\pi}{6}\right) = e^{i\frac{5\pi}{6}}$

$z^{12} = \left(e^{i\frac{5\pi}{6}}\right)^{12} = e^{i\frac{5\pi}{6} \cdot 12} = e^{i(10\pi)} = \cos(10\pi) + i\sin(10\pi) = 1 + 0i = 1$

$z^{2024} = \left(e^{i\frac{5\pi}{6}}\right)^{2024} = e^{i\frac{5\pi}{6} \cdot 2024} = e^{i\frac{10120\pi}{6}} = e^{i\frac{5060\pi}{3}}$

$\frac{5060}{3} = 1686 + \frac{2}{3}$ なので $z^{2024} = e^{i(1686\pi + \frac{2\pi}{3})} = e^{i(843(2\pi) + \frac{2\pi}{3})} = e^{i\frac{2\pi}{3}} = \cos\left(\frac{2\pi}{3}\right) + i\sin\left(\frac{2\pi}{3}\right) = -\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2}i$

$z^{2024} = \frac{-1 + \sqrt{3}i}{2}$

3. 最終的な答え

$z^{12} = 1$

$z^{2024} = \frac{-1 + \sqrt{3}i}{2}$