多項式 $3x^2 - 4x + 5$ を多項式 $B$ で割ると、商が $x - 1$、余りが $4$ である。 多項式 $x^3 - 2x^2 + 3x - 3$ を多項式 $B$ で割ると、商が $x - 2$、余りが $-2x + 7$ である。 このとき、多項式 $B$ を求めよ。

1. 問題の内容

多項式 $3x^2 - 4x + 5$ を多項式 $B$ で割ると、商が $x - 1$、余りが $4$ である。

多項式 $x^3 - 2x^2 + 3x - 3$ を多項式 $B$ で割ると、商が $x - 2$、余りが $-2x + 7$ である。

このとき、多項式 $B$ を求めよ。

2. 解き方の手順

(1) について：

割られる式 = 割る式 × 商 + 余り の関係から、

$3x^2 - 4x + 5 = B(x-1) + 4$

これを変形して、$B$ について解きます。

$B(x-1) = 3x^2 - 4x + 5 - 4$

$B(x-1) = 3x^2 - 4x + 1$

$B = \frac{3x^2 - 4x + 1}{x-1}$

$3x^2 - 4x + 1$ を因数分解すると、$(3x - 1)(x - 1)$ なので、

$B = \frac{(3x - 1)(x - 1)}{x-1} = 3x - 1$

(2) について：

同様に、割られる式 = 割る式 × 商 + 余り の関係から、

$x^3 - 2x^2 + 3x - 3 = B(x-2) + (-2x + 7)$

これを変形して、$B$ について解きます。

$B(x-2) = x^3 - 2x^2 + 3x - 3 - (-2x + 7)$

$B(x-2) = x^3 - 2x^2 + 5x - 10$

$B = \frac{x^3 - 2x^2 + 5x - 10}{x-2}$

$x^3 - 2x^2 + 5x - 10$ を因数分解すると、$x^2(x-2) + 5(x-2) = (x^2+5)(x-2)$ なので、

$B = \frac{(x^2 + 5)(x - 2)}{x-2} = x^2 + 5$

それぞれの$B$は一致する必要があるので、どちらも満たすものを探します。

(1)で求めた $B$ は $3x-1$ であり、(2)で求めた $B$ は $x^2+5$ です。

問題文より、$3x^2-4x+5$を$B$で割ったときの商が$x-1$なので、$B$は2次式でなければなりません。

同様に、$x^3-2x^2+3x-3$を$B$で割ったときの商が$x-2$なので、$B$は2次式でなければなりません。

そこで、$B=x^2+5$の場合に(1)の条件を満たしているか確認します。

$3x^2-4x+5 = (x^2+5)(商)+4$

$3x^2-4x+1 = (x^2+5)(商)$

$(3x^2-4x+1)/(x^2+5)$ は割り切れないため、この等式は成り立ちません。

問題文の誤植を疑い、(1)と(2)で求まった$B$が一致するという前提で解き進めます。

このとき、(2)の$B=x^2+5$は$x^2+ax+b$と置くこともできます。

$x^3 - 2x^2 + 3x - 3 = (x^2 + ax + b)(x-2) + (-2x + 7)$

$x^3 - 2x^2 + 3x - 3 = x^3 - 2x^2 + ax^2 - 2ax + bx - 2b - 2x + 7$

$x^3 - 2x^2 + 3x - 3 = x^3 + (a-2)x^2 + (b - 2a - 2)x + (-2b + 7)$

係数比較をすると

$a - 2 = -2$, $b - 2a - 2 = 3$, $-2b + 7 = -3$

$a = 0$, $b = 5$, $b = 5$

したがって、$B = x^2 + 5$

3. 最終的な答え

$B = x^2 + 5$