与えられた式 $(x+y)^3(x-y)^3$ を展開し、簡略化すること。

1. 問題の内容

与えられた式 $(x+y)^3(x-y)^3$ を展開し、簡略化すること。

2. 解き方の手順

まず、$A^3B^3 = (AB)^3$という公式を利用する。

与えられた式は、$(x+y)^3(x-y)^3$であるので、$(x+y)(x-y)$を計算し、その結果を3乗する。

$(x+y)(x-y)$は和と差の積の公式 $(a+b)(a-b) = a^2 - b^2$ を用いて、$x^2 - y^2$と計算できる。

したがって、与えられた式は$(x^2 - y^2)^3$と書き換えられる。

次に、$(x^2 - y^2)^3$を展開する。

二項定理または3乗の展開公式$(a-b)^3 = a^3 - 3a^2b + 3ab^2 - b^3$を用いて計算する。

$a = x^2$と$b = y^2$を代入すると、

$(x^2 - y^2)^3 = (x^2)^3 - 3(x^2)^2(y^2) + 3(x^2)(y^2)^2 - (y^2)^3$

$= x^6 - 3x^4y^2 + 3x^2y^4 - y^6$となる。

3. 最終的な答え

$x^6 - 3x^4y^2 + 3x^2y^4 - y^6$