二項定理を用いて、$(x+2)^5$ を展開する。

1. 問題の内容

二項定理を用いて、$(x+2)^5$ を展開する。

2. 解き方の手順

二項定理は、一般に次のように表されます。

$(a+b)^n = \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} a^{n-k} b^k$

ここで、$\binom{n}{k}$ は二項係数であり、$\binom{n}{k} = \frac{n!}{k!(n-k)!}$ で計算できます。

今回の問題では、$a=x$, $b=2$, $n=5$ なので、二項定理を適用すると、

$(x+2)^5 = \sum_{k=0}^{5} \binom{5}{k} x^{5-k} 2^k$

となります。これを展開すると、

$(x+2)^5 = \binom{5}{0} x^5 2^0 + \binom{5}{1} x^4 2^1 + \binom{5}{2} x^3 2^2 + \binom{5}{3} x^2 2^3 + \binom{5}{4} x^1 2^4 + \binom{5}{5} x^0 2^5$

各二項係数を計算します。

$\binom{5}{0} = \frac{5!}{0!5!} = 1$

$\binom{5}{1} = \frac{5!}{1!4!} = 5$

$\binom{5}{2} = \frac{5!}{2!3!} = \frac{5 \times 4}{2} = 10$

$\binom{5}{3} = \frac{5!}{3!2!} = \frac{5 \times 4}{2} = 10$

$\binom{5}{4} = \frac{5!}{4!1!} = 5$

$\binom{5}{5} = \frac{5!}{5!0!} = 1$

これらの値を代入して、

$(x+2)^5 = 1 \cdot x^5 \cdot 1 + 5 \cdot x^4 \cdot 2 + 10 \cdot x^3 \cdot 4 + 10 \cdot x^2 \cdot 8 + 5 \cdot x \cdot 16 + 1 \cdot 1 \cdot 32$

$(x+2)^5 = x^5 + 10x^4 + 40x^3 + 80x^2 + 80x + 32$

3. 最終的な答え

$x^5 + 10x^4 + 40x^3 + 80x^2 + 80x + 32$