与えられた多項式 $12x^2y - 7xy^2 - 12y^3$ を因数分解します。

1. 問題の内容

与えられた多項式 $12x^2y - 7xy^2 - 12y^3$ を因数分解します。

2. 解き方の手順

まず、すべての項に共通する因数 $y$ をくくり出します。

$12x^2y - 7xy^2 - 12y^3 = y(12x^2 - 7xy - 12y^2)$

次に、括弧の中の二次式 $12x^2 - 7xy - 12y^2$ を因数分解します。これは $x$ と $y$ に関する二次同次式なので、たすき掛けを利用して因数分解できます。

$12x^2 - 7xy - 12y^2$ を $(ax + by)(cx + dy)$ の形に因数分解することを考えます。

$ac = 12$, $bd = -12$, $ad + bc = -7$ を満たす $a, b, c, d$ を探します。

$a=4, c=3, b=-3, d=4$ とすると、

$ac = 4 \times 3 = 12$

$bd = -3 \times 4 = -12$

$ad + bc = 4 \times 4 + (-3) \times 3 = 16 - 9 = 7$

符号が逆なので $b=3, d=-4$とすると、

$ad+bc=4 \times -4 + 3 \times 3 = -16+9=-7$

したがって、$12x^2 - 7xy - 12y^2 = (4x + 3y)(3x - 4y)$ となります。

したがって、元の式は以下のように因数分解できます。

$12x^2y - 7xy^2 - 12y^3 = y(4x + 3y)(3x - 4y)$

3. 最終的な答え

$y(4x + 3y)(3x - 4y)$