与えられた式 $(a+b+c)^2 - (b+c-a)^2 + (c+a-b)^2 - (a+b-c)^2$ を計算します。

1. 問題の内容

与えられた式 $(a+b+c)^2 - (b+c-a)^2 + (c+a-b)^2 - (a+b-c)^2$ を計算します。

2. 解き方の手順

まず、各項の展開を考えずに、$(x+y)^2 - (x-y)^2 = 4xy$ の公式を利用します。

与式を以下のように変形します。

$((a+b+c)^2 - (a+b-c)^2) + ((c+a-b)^2 - (b+c-a)^2)$

最初の括弧について、$x = a+b$、$y = c$ とおくと、$((a+b+c)^2 - (a+b-c)^2) = 4(a+b)c = 4ac + 4bc$

次の括弧について、$x = c-b$、$y=a$ とおくと、$((c+a-b)^2 - (b+c-a)^2) = (a+c-b)^2 - (c-a+b)^2 = (c-b+a)^2 - (c+b-a)^2 = 4a(c-b) = 4ac - 4ab$

したがって、与式は

$4ac + 4bc + 4ac - 4ab = 8ac + 4bc - 4ab = 4(2ac + bc - ab)$

別の解き方として、各項を展開して整理する方法もあります。

$(a+b+c)^2 = a^2 + b^2 + c^2 + 2ab + 2bc + 2ca$

$(b+c-a)^2 = b^2 + c^2 + a^2 + 2bc - 2ca - 2ab$

$(c+a-b)^2 = c^2 + a^2 + b^2 + 2ca - 2ab - 2bc$

$(a+b-c)^2 = a^2 + b^2 + c^2 + 2ab - 2bc - 2ca$

与式は

$(a^2 + b^2 + c^2 + 2ab + 2bc + 2ca) - (a^2 + b^2 + c^2 - 2ab + 2bc - 2ca) + (a^2 + b^2 + c^2 - 2ab - 2bc + 2ca) - (a^2 + b^2 + c^2 + 2ab - 2bc - 2ca)$

$= (2ab + 2bc + 2ca) - (- 2ab + 2bc - 2ca) + (- 2ab - 2bc + 2ca) - (2ab - 2bc - 2ca)$

$= 2ab + 2bc + 2ca + 2ab - 2bc + 2ca - 2ab - 2bc + 2ca - 2ab + 2bc + 2ca$

$= 4ca +4ac - 4ab + 4ca + 4ac + 4ca$

$= 8ac -4ab+ 0bc$

$= 4ab + 8ca$

したがって、与式は

$(a+b+c)^2 - (b+c-a)^2 + (c+a-b)^2 - (a+b-c)^2 = 8ac-4ab =4(2ac-ab)$.

$4(2ac-ab) = 8ac - 4ab + 4bc -4bc = 8ac - 4ab$.

3. 最終的な答え

$8ac - 4ab = 4(2ac - ab)$