与えられた式 $A=2x^2+xy-3z$, $B=-3x^2+2xy+z$, $C=x^2-3xy+2z$ に対して、以下の式を計算する。 (1) $A+B+C$ (2) $A-B+C$ (3) $2A-(B+2C)$ (4) $2(2A+B-C)-(A+4B-C)$

1. 問題の内容

与えられた式 $A=2x^2+xy-3z$, $B=-3x^2+2xy+z$, $C=x^2-3xy+2z$ に対して、以下の式を計算する。

(1) $A+B+C$

(2) $A-B+C$

(3) $2A-(B+2C)$

(4) $2(2A+B-C)-(A+4B-C)$

2. 解き方の手順

(1) $A+B+C$

それぞれの式を代入して計算する。

$A+B+C = (2x^2+xy-3z)+(-3x^2+2xy+z)+(x^2-3xy+2z)$

$A+B+C = 2x^2 - 3x^2 + x^2 + xy + 2xy - 3xy - 3z + z + 2z$

$A+B+C = (2-3+1)x^2 + (1+2-3)xy + (-3+1+2)z$

$A+B+C = 0x^2 + 0xy + 0z = 0$

(2) $A-B+C$

それぞれの式を代入して計算する。

$A-B+C = (2x^2+xy-3z)-(-3x^2+2xy+z)+(x^2-3xy+2z)$

$A-B+C = 2x^2+xy-3z+3x^2-2xy-z+x^2-3xy+2z$

$A-B+C = (2+3+1)x^2 + (1-2-3)xy + (-3-1+2)z$

$A-B+C = 6x^2 - 4xy - 2z$

(3) $2A-(B+2C)$

まず、$2A$ を計算する。

$2A = 2(2x^2+xy-3z) = 4x^2 + 2xy - 6z$

次に、$B+2C$ を計算する。

$2C = 2(x^2-3xy+2z) = 2x^2 - 6xy + 4z$

$B+2C = (-3x^2+2xy+z)+(2x^2-6xy+4z)$

$B+2C = (-3+2)x^2 + (2-6)xy + (1+4)z = -x^2 - 4xy + 5z$

したがって、

$2A-(B+2C) = (4x^2+2xy-6z)-(-x^2-4xy+5z)$

$2A-(B+2C) = 4x^2+2xy-6z+x^2+4xy-5z$

$2A-(B+2C) = (4+1)x^2 + (2+4)xy + (-6-5)z$

$2A-(B+2C) = 5x^2 + 6xy - 11z$

(4) $2(2A+B-C)-(A+4B-C)$

まず、$2A+B-C$ を計算する。

$2A = 4x^2 + 2xy - 6z$

$2A+B-C = (4x^2+2xy-6z)+(-3x^2+2xy+z)-(x^2-3xy+2z)$

$2A+B-C = 4x^2+2xy-6z-3x^2+2xy+z-x^2+3xy-2z$

$2A+B-C = (4-3-1)x^2 + (2+2+3)xy + (-6+1-2)z$

$2A+B-C = 0x^2 + 7xy - 7z = 7xy - 7z$

次に、$2(2A+B-C)$ を計算する。

$2(2A+B-C) = 2(7xy-7z) = 14xy - 14z$

次に、$A+4B-C$ を計算する。

$4B = 4(-3x^2+2xy+z) = -12x^2+8xy+4z$

$A+4B-C = (2x^2+xy-3z)+(-12x^2+8xy+4z)-(x^2-3xy+2z)$

$A+4B-C = 2x^2+xy-3z-12x^2+8xy+4z-x^2+3xy-2z$

$A+4B-C = (2-12-1)x^2 + (1+8+3)xy + (-3+4-2)z$

$A+4B-C = -11x^2 + 12xy - z$

したがって、

$2(2A+B-C)-(A+4B-C) = (14xy - 14z) - (-11x^2 + 12xy - z)$

$2(2A+B-C)-(A+4B-C) = 14xy - 14z + 11x^2 - 12xy + z$

$2(2A+B-C)-(A+4B-C) = 11x^2 + (14-12)xy + (-14+1)z$

$2(2A+B-C)-(A+4B-C) = 11x^2 + 2xy - 13z$

3. 最終的な答え

(1) $0$

(2) $6x^2-4xy-2z$

(3) $5x^2+6xy-11z$

(4) $11x^2+2xy-13z$