与えられた2つの問題を解きます。一つ目は $16x^4 - 81y^4$ の因数分解、二つ目は $(x-y-3)(x-y+5)+7$ の展開と整理です。

1. 問題の内容

与えられた2つの問題を解きます。一つ目は $16x^4 - 81y^4$ の因数分解、二つ目は $(x-y-3)(x-y+5)+7$ の展開と整理です。

2. 解き方の手順

一つ目の問題、$16x^4 - 81y^4$ の因数分解：

まず、$16x^4$ は $(4x^2)^2$ 、$81y^4$ は $(9y^2)^2$ と書けるので、これは二乗の差の形 $a^2 - b^2 = (a+b)(a-b)$ を利用できます。

$16x^4 - 81y^4 = (4x^2)^2 - (9y^2)^2 = (4x^2 + 9y^2)(4x^2 - 9y^2)$

さらに、$4x^2 - 9y^2$ は $(2x)^2 - (3y)^2$ と書けるので、再び二乗の差の形を利用できます。

$4x^2 - 9y^2 = (2x)^2 - (3y)^2 = (2x + 3y)(2x - 3y)$

したがって、

$16x^4 - 81y^4 = (4x^2 + 9y^2)(2x + 3y)(2x - 3y)$

二つ目の問題、$(x-y-3)(x-y+5)+7$ の展開と整理：

$x-y = A$ と置くと、式は $(A-3)(A+5)+7$ となります。これを展開します。

$(A-3)(A+5) = A^2 + 5A - 3A - 15 = A^2 + 2A - 15$

よって、$(A-3)(A+5)+7 = A^2 + 2A - 15 + 7 = A^2 + 2A - 8$

ここで、$A = x-y$ を代入します。

$(x-y)^2 + 2(x-y) - 8 = x^2 - 2xy + y^2 + 2x - 2y - 8$

3. 最終的な答え

一つ目の問題の答え:

$(4x^2 + 9y^2)(2x + 3y)(2x - 3y)$

二つ目の問題の答え:

$x^2 - 2xy + y^2 + 2x - 2y - 8$