2次方程式 $x^2 - (m-1)x + m = 0$ の2つの解の比が2:3であるとき、定数 $m$ の値と2つの解を求めよ。

1. 問題の内容

2次方程式 $x^2 - (m-1)x + m = 0$ の2つの解の比が2:3であるとき、定数 $m$ の値と2つの解を求めよ。

2. 解き方の手順

2つの解を $2\alpha$ と $3\alpha$ とおく。

解と係数の関係より、

解の和は $2\alpha + 3\alpha = 5\alpha = m-1$

解の積は $2\alpha \cdot 3\alpha = 6\alpha^2 = m$

これらの式から $m$ と $\alpha$ を求める。

$5\alpha = m-1$ より、$m = 5\alpha + 1$

これを $6\alpha^2 = m$ に代入すると、

$6\alpha^2 = 5\alpha + 1$

$6\alpha^2 - 5\alpha - 1 = 0$

$(6\alpha + 1)(\alpha - 1) = 0$

$\alpha = 1, -\frac{1}{6}$

$\alpha = 1$ のとき、

$m = 5\alpha + 1 = 5(1) + 1 = 6$

このとき、2つの解は $2\alpha = 2$ と $3\alpha = 3$

$x^2 - (6-1)x + 6 = x^2 - 5x + 6 = (x-2)(x-3) = 0$ となり、確かに解は $x=2,3$

$\alpha = -\frac{1}{6}$ のとき、

$m = 5\alpha + 1 = 5(-\frac{1}{6}) + 1 = -\frac{5}{6} + 1 = \frac{1}{6}$

このとき、2つの解は $2\alpha = -\frac{1}{3}$ と $3\alpha = -\frac{1}{2}$

$x^2 - (\frac{1}{6}-1)x + \frac{1}{6} = x^2 + \frac{5}{6}x + \frac{1}{6} = 0$

$6x^2 + 5x + 1 = 0$

$(2x+1)(3x+1) = 0$

$x = -\frac{1}{2}, -\frac{1}{3}$ となり、確かに解は $x=-\frac{1}{2}, -\frac{1}{3}$

3. 最終的な答え

$m = 6$ のとき、2つの解は $2, 3$

$m = \frac{1}{6}$ のとき、2つの解は $-\frac{1}{3}, -\frac{1}{2}$