与えられた2次方程式 $x^2 - x + 2 = 0$ を基に、解の計算、多項式の割り算、解と係数の関係、および複素数の計算を行う。

以下に、問題文の各設問に対する解答を示します。

1. 問題の内容

与えられた2次方程式 $x^2 - x + 2 = 0$ を基に、解の計算、多項式の割り算、解と係数の関係、および複素数の計算を行う。

2. 解き方の手順

(1) 2次方程式 $x^2 - x + 2 = 0$ を解く。解の公式を用いる。

解の公式：$x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$

$x = \frac{1 \pm \sqrt{(-1)^2 - 4(1)(2)}}{2(1)} = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 8}}{2} = \frac{1 \pm \sqrt{-7}}{2} = \frac{1 \pm i\sqrt{7}}{2}$

(2) 多項式の割り算を行う。$x^3 + 2x^2 + 7$ を $x^2 - x + 2$ で割る。

$x^3 + 2x^2 + 7 = (x^2 - x + 2)(x + 3) + (x + 1)$

したがって、商は $x+3$ で、余りは $x+1$ である。

(3) (i) 解 $\alpha, \beta$ に対して、$(\alpha + 1)(\beta + 1)$ と $\alpha^3 + \beta^3$ の値を求める。

解と係数の関係より、$\alpha + \beta = 1$、$\alpha\beta = 2$。

$(\alpha + 1)(\beta + 1) = \alpha\beta + \alpha + \beta + 1 = 2 + 1 + 1 = 4$

$\alpha^3 + \beta^3 = (\alpha + \beta)^3 - 3\alpha\beta(\alpha + \beta) = (1)^3 - 3(2)(1) = 1 - 6 = -5$

(ii) 2次方程式 $x^2 + ax + b = 0$ の解が $(\alpha+1)^3$ と $(\beta+1)^3$ であるような $a, b$ を求める。

$\alpha = \frac{1 + i\sqrt{7}}{2}$、$\beta = \frac{1 - i\sqrt{7}}{2}$

$\alpha+1 = \frac{3 + i\sqrt{7}}{2}$、$\beta+1 = \frac{3 - i\sqrt{7}}{2}$

$(\alpha+1)^3 = (\frac{3 + i\sqrt{7}}{2})^3 = \frac{27 + 27i\sqrt{7} - 63 - 7i\sqrt{7}}{8} = \frac{-36 + 20i\sqrt{7}}{8} = \frac{-9 + 5i\sqrt{7}}{2}$

$(\beta+1)^3 = (\frac{3 - i\sqrt{7}}{2})^3 = \frac{27 - 27i\sqrt{7} - 63 + 7i\sqrt{7}}{8} = \frac{-36 - 20i\sqrt{7}}{8} = \frac{-9 - 5i\sqrt{7}}{2}$

解と係数の関係より、$-a = (\alpha+1)^3 + (\beta+1)^3 = \frac{-9 + 5i\sqrt{7}}{2} + \frac{-9 - 5i\sqrt{7}}{2} = -9$。よって、$a = 9$

$b = (\alpha+1)^3 (\beta+1)^3 = (\frac{-9 + 5i\sqrt{7}}{2}) (\frac{-9 - 5i\sqrt{7}}{2}) = \frac{81 + 175}{4} = \frac{256}{4} = 64$

したがって、$a = 9$, $b = 64$。

(4) $p$ は $x^2 - x + 2 = 0$ の解なので、$p^2 - p + 2 = 0$ が成り立つ。

$p^2 = p - 2$ より、$p^3 = p(p^2) = p(p-2) = p^2 - 2p = (p-2) - 2p = -p-2$。

$p^3 + 2p^2 + 7 = (-p - 2) + 2(p - 2) + 7 = -p - 2 + 2p - 4 + 7 = p + 1$

$A = (p^3+2p^2+7)^6 + 9(p^3+2p^2+7)^3 + 81 = (p+1)^6 + 9(p+1)^3 + 81$

$(p+1)^2 = p^2 + 2p + 1 = (p - 2) + 2p + 1 = 3p - 1$

$(p+1)^3 = (p+1)(3p-1) = 3p^2 + 2p - 1 = 3(p-2) + 2p - 1 = 5p - 7$

$(p+1)^6 = ((p+1)^3)^2 = (5p - 7)^2 = 25p^2 - 70p + 49 = 25(p-2) - 70p + 49 = -45p - 1$

$A = (-45p - 1) + 9(5p - 7) + 81 = -45p - 1 + 45p - 63 + 81 = 17$

3. 最終的な答え

(1) $x = \frac{1 \pm i\sqrt{7}}{2}$

(2) 商: $x+3$, 余り: $x+1$

(3) (i) $(\alpha + 1)(\beta + 1) = 4$, $\alpha^3 + \beta^3 = -5$

(ii) $(a, b) = (9, 64)$

(4) $A = 17$