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$\alpha = \sqrt{5} - 2$、$\beta = 3\sqrt{5} - 7$ のとき、$|\alpha + \beta|$ の値を求めよ。

代数学絶対値平方根式の計算
2025/5/8

1. 問題の内容

α=5−2\alpha = \sqrt{5} - 2、β=35−7\beta = 3\sqrt{5} - 7 のとき、∣α+β∣|\alpha + \beta| の値を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、α+β\alpha + \beta を計算します。
α+β=(5−2)+(35−7)\alpha + \beta = (\sqrt{5} - 2) + (3\sqrt{5} - 7)
α+β=5+35−2−7\alpha + \beta = \sqrt{5} + 3\sqrt{5} - 2 - 7
α+β=45−9\alpha + \beta = 4\sqrt{5} - 9
次に、α+β=45−9\alpha + \beta = 4\sqrt{5} - 9 の絶対値を計算します。
∣α+β∣=∣45−9∣|\alpha + \beta| = |4\sqrt{5} - 9|
45=16×5=804\sqrt{5} = \sqrt{16 \times 5} = \sqrt{80}
9=819 = \sqrt{81}
80<81\sqrt{80} < \sqrt{81} より、45<94\sqrt{5} < 9 であるから、45−9<04\sqrt{5} - 9 < 0 となります。
したがって、∣α+β∣=∣45−9∣=−(45−9)=9−45|\alpha + \beta| = |4\sqrt{5} - 9| = -(4\sqrt{5} - 9) = 9 - 4\sqrt{5}

3. 最終的な答え

9−459 - 4\sqrt{5}

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