与えられた2つの式を因数分解する問題です。 (1) $ab(a+b)+bc(b+c)+ca(c+a)+2abc$ (2) $a^2(b+c) + b^2(c+a) + c^2(a+b)+3abc$

1. 問題の内容

与えられた2つの式を因数分解する問題です。

(1) $ab(a+b)+bc(b+c)+ca(c+a)+2abc$

(2) $a^2(b+c) + b^2(c+a) + c^2(a+b)+3abc$

2. 解き方の手順

(1) $ab(a+b)+bc(b+c)+ca(c+a)+2abc$

展開します。

$ab(a+b) + bc(b+c) + ca(c+a) + 2abc = a^2b + ab^2 + b^2c + bc^2 + c^2a + ca^2 + 2abc$

$a$について整理します。

$= (b+c)a^2 + (b^2+2bc+c^2)a + b^2c + bc^2$

$= (b+c)a^2 + (b+c)^2a + bc(b+c)$

共通因数$(b+c)$でくくります。

$= (b+c)(a^2 + (b+c)a + bc)$

$= (b+c)(a+b)(a+c)$

$= (a+b)(b+c)(c+a)$

(2) $a^2(b+c) + b^2(c+a) + c^2(a+b)+3abc$

展開します。

$= a^2b + a^2c + b^2c + b^2a + c^2a + c^2b + 3abc$

$a$について整理します。

$= (b+c)a^2 + (b^2 + c^2 + 3bc)a + b^2c + c^2b$

$= (b+c)a^2 + (b^2 + c^2 + 3bc)a + bc(b+c)$

$= (b+c)a^2 + (b^2 + c^2 + 2bc + bc)a + bc(b+c)$

$= (b+c)a^2 + ((b+c)^2 + bc)a + bc(b+c)$

$= (b+c)a^2 + (b+c)^2a + bca + bc(b+c)$

$= (b+c)[a^2 + (b+c)a + bc] + abc$

$= (b+c)(a^2 + ab + ac + bc)$

$= (b+c)[a(a+b) + c(a+b)]$

$= (b+c)(a+b)(a+c)$

$= (a+b)(b+c)(c+a)$

3. 最終的な答え

(1) $(a+b)(b+c)(c+a)$

(2) $(a+b)(b+c)(c+a)$