$x$ は実数とする。集合を用いて、次の命題の真偽を調べよ。 (1) $-1 < x < 2 \implies x > -2$ (2) $x < 2 \implies -1 < x < 2$

1. 問題の内容

$x$ は実数とする。集合を用いて、次の命題の真偽を調べよ。

(1) $-1 < x < 2 \implies x > -2$

(2) $x < 2 \implies -1 < x < 2$

2. 解き方の手順

(1)

命題 $-1 < x < 2 \implies x > -2$ の真偽を判定する。

$P = \{x \in \mathbb{R} \mid -1 < x < 2\}$

$Q = \{x \in \mathbb{R} \mid x > -2\}$

集合 $P$ に属するすべての $x$ が集合 $Q$ に属するかどうかを調べればよい。

数直線で考えると、$P$ は $-1$ と $2$ の間の実数、$Q$ は $-2$ より大きい実数である。

$-1 > -2$ であるから、区間 $-1 < x < 2$ に属するすべての $x$ は $x > -2$ を満たす。

したがって、$P \subset Q$ である。

(2)

命題 $x < 2 \implies -1 < x < 2$ の真偽を判定する。

$P = \{x \in \mathbb{R} \mid x < 2\}$

$Q = \{x \in \mathbb{R} \mid -1 < x < 2\}$

集合 $P$ に属するすべての $x$ が集合 $Q$ に属するかどうかを調べればよい。

$x=0$ のとき、$x<2$ を満たす。しかし、$-1 < 0 < 2$ を満たす。

$x=-2$ のとき、$x<2$ を満たす。しかし、$-1 < -2 < 2$ は成り立たない。

$x = 3$ のとき、$x<2$ を満たさない。

数直線で考えると、$P$ は $2$ より小さい実数、$Q$ は $-1$ と $2$ の間の実数である。

$P \not\subset Q$ である。

$x = -5$ のとき、$x<2$ だが $-1 < x < 2$ ではない。

3. 最終的な答え

(1) 真

(2) 偽