不等式 $|x-2| < 2x - 1$ を解く問題です。

1. 問題の内容

不等式 $|x-2| < 2x - 1$ を解く問題です。

2. 解き方の手順

絶対値を含む不等式なので、場合分けを行います。

まず、$2x-1 > 0$、つまり$x > \frac{1}{2}$である必要があります。これは、絶対値は常に非負であるためです。$2x-1 \leq 0$ の場合、不等式は成立しません。

次に、$x-2$ の符号によって場合分けをします。

(i) $x-2 \geq 0$、つまり $x \geq 2$ のとき、絶対値はそのまま外れます。

$x-2 < 2x-1$

$x > -1$

この条件と $x \geq 2$ を合わせると、$x \geq 2$ となります。

$x > \frac{1}{2}$という条件も満たしています。

(ii) $x-2 < 0$、つまり $x < 2$ のとき、絶対値は符号を反転して外れます。

$-(x-2) < 2x-1$

$-x+2 < 2x-1$

$3x > 3$

$x > 1$

この条件と $x < 2$ を合わせると、$1 < x < 2$ となります。

$x > \frac{1}{2}$という条件も満たしています。

(i) と (ii) の結果を合わせます。

$x \geq 2$ または $1 < x < 2$

これは $x > 1$ を意味します。

3. 最終的な答え

$x > 1$