与えられた数式を因数分解したり、ある条件を満たす場合の数を求めたりする問題です。具体的には、以下の問題が含まれています。 (1) $x^4 - 13x^2 - 48$ を因数分解する。 (2) $(x+y+1)(x+y-3)-12$ を因数分解する。 (3) $x^2 - y^2 + 4y - 4$ を因数分解する。 (4) $64x^3 - 27$ を因数分解する。 (5) $(x-1)(x-3)(x-5)(x-7)+15$ を因数分解する。 (6) 6個の数字1,1,1,2,2,3の中から、3個の数字を使ってできる3桁の自然数の個数を求める。 (7) 大小2個のサイコロを投げるとき、目の和が5または6になる場合の数、目の和が3の倍数になる場合の数、目の積が20以上になる場合の数をそれぞれ求める。 (8) 1000と360の正の約数の個数を求める。

1. 問題の内容

与えられた数式を因数分解したり、ある条件を満たす場合の数を求めたりする問題です。具体的には、以下の問題が含まれています。

(1) $x^4 - 13x^2 - 48$ を因数分解する。

(2) $(x+y+1)(x+y-3)-12$ を因数分解する。

(3) $x^2 - y^2 + 4y - 4$ を因数分解する。

(4) $64x^3 - 27$ を因数分解する。

(5) $(x-1)(x-3)(x-5)(x-7)+15$ を因数分解する。

(6) 6個の数字1,1,1,2,2,3の中から、3個の数字を使ってできる3桁の自然数の個数を求める。

(7) 大小2個のサイコロを投げるとき、目の和が5または6になる場合の数、目の和が3の倍数になる場合の数、目の積が20以上になる場合の数をそれぞれ求める。

(8) 1000と360の正の約数の個数を求める。

2. 解き方の手順

(1) $x^4 - 13x^2 - 48$

$x^2 = X$ と置くと、$X^2 - 13X - 48$ となる。

これを因数分解すると、$(X - 16)(X + 3)$ となる。

$X$ を $x^2$ に戻すと、$(x^2 - 16)(x^2 + 3)$ となる。

$x^2 - 16$ を因数分解すると、$(x - 4)(x + 4)$ となる。

したがって、$(x - 4)(x + 4)(x^2 + 3)$ が答え。

(2) $(x+y+1)(x+y-3)-12$

$x+y = A$ と置くと、$(A+1)(A-3) - 12$ となる。

展開すると、$A^2 - 2A - 3 - 12 = A^2 - 2A - 15$ となる。

これを因数分解すると、$(A - 5)(A + 3)$ となる。

$A$ を $x+y$ に戻すと、$(x+y - 5)(x+y + 3)$ が答え。

(3) $x^2 - y^2 + 4y - 4$

$x^2 - (y^2 - 4y + 4)$ と変形できる。

$y^2 - 4y + 4$ を因数分解すると、$(y - 2)^2$ となる。

したがって、$x^2 - (y - 2)^2$ となる。

これは差の二乗の形なので、$(x - (y - 2))(x + (y - 2)) = (x - y + 2)(x + y - 2)$ が答え。

(4) $64x^3 - 27$

これは $A^3 - B^3$ の形なので、$(A - B)(A^2 + AB + B^2)$ の公式を利用する。

$A = 4x$ 、$B = 3$ とすると、

$(4x - 3)((4x)^2 + (4x)(3) + 3^2) = (4x - 3)(16x^2 + 12x + 9)$ が答え。

(5) $(x-1)(x-3)(x-5)(x-7)+15$

$(x-1)(x-7)(x-3)(x-5)+15$ と変形する。

$(x^2 - 8x + 7)(x^2 - 8x + 15)+15$ となる。

$x^2 - 8x = A$ と置くと、$(A + 7)(A + 15) + 15$ となる。

展開すると、$A^2 + 22A + 105 + 15 = A^2 + 22A + 120$ となる。

これを因数分解すると、$(A + 10)(A + 12)$ となる。

$A$ を $x^2 - 8x$ に戻すと、$(x^2 - 8x + 10)(x^2 - 8x + 12)$ となる。

$x^2 - 8x + 12$ を因数分解すると、$(x - 2)(x - 6)$ となる。

したがって、$(x^2 - 8x + 10)(x - 2)(x - 6)$ が答え。

(6) 6個の数字1,1,1,2,2,3の中から、3個の数字を使ってできる3桁の自然数の個数を求める。

3つの数字がすべて同じ場合：111 (1通り)

2つの数字が同じ場合：112, 113, 221, 223。それぞれ3通りあるので、4 * 3 = 12通り

3つの数字がすべて異なる場合：123。6通り

合計：1 + 12 + 6 = 19通り

(7) 大小2個のサイコロを投げるとき、

(1) 目の和が5または6になる場合の数：

5になるのは (1,4), (2,3), (3,2), (4,1) の4通り

6になるのは (1,5), (2,4), (3,3), (4,2), (5,1) の5通り

合計9通り

(2) 目の和が3の倍数になる場合の数：

3, 6, 9, 12 があり、それぞれ (1,2)(2,1), (1,5)(2,4)(3,3)(4,2)(5,1), (3,6)(4,5)(5,4)(6,3), (6,6)

合計2 + 5 + 4 + 1 = 12通り

(3) 目の積が20以上になる場合の数：

(4,5)(5,4), (4,6)(6,4), (5,5), (5,6)(6,5), (6,6)

合計2 + 2 + 1 + 2 + 1 = 8通り

(8) 正の約数の個数

(1) 1000 = $2^3 * 5^3$。約数の個数は (3+1)(3+1) = 16個

(2) 360 = $2^3 * 3^2 * 5$。約数の個数は (3+1)(2+1)(1+1) = 4*3*2 = 24個

3. 最終的な答え

(1) $(x - 4)(x + 4)(x^2 + 3)$

(2) $(x+y - 5)(x+y + 3)$

(3) $(x - y + 2)(x + y - 2)$

(4) $(4x - 3)(16x^2 + 12x + 9)$

(5) $(x^2 - 8x + 10)(x - 2)(x - 6)$

(6) 19個

(7) (1) 9通り (2) 12通り (3) 8通り

(8) (1) 16個 (2) 24個