aは0でない定数とし、xについての4つの不等式が与えられています。 ① $3x + 15 \geq 5x + 5$ ② $\frac{x-2}{3} > \frac{x-1}{4}$ ③ $a(3x - 2a) \geq ax + 2a$ ④ $\sqrt{5}(\sqrt{5} - a) \leq 5 - x < 7$ これらの不等式について、以下の問題を解きます。 (1) ①を満たすxの範囲を求めよ。 (2) ①と②を同時に満たすxの範囲を求めよ。 (3) ③を満たすxの範囲を、$a > 0$と$a < 0$の場合に分けて求めよ。 (4) $a > 0$とする。 (i) ③と④を同時に満たすxが存在するようなaの値の範囲を求めよ。 (ii) ①、②、③、④を同時に満たす正の整数xがちょうど2個存在するようなaの値の範囲を求めよ。

はい、承知いたしました。問題を解いていきます。

1. 問題の内容

aは0でない定数とし、xについての4つの不等式が与えられています。

① $3x + 15 \geq 5x + 5$

② $\frac{x-2}{3} > \frac{x-1}{4}$

③ $a(3x - 2a) \geq ax + 2a$

④ $\sqrt{5}(\sqrt{5} - a) \leq 5 - x < 7$

これらの不等式について、以下の問題を解きます。

(1) ①を満たすxの範囲を求めよ。

(2) ①と②を同時に満たすxの範囲を求めよ。

(3) ③を満たすxの範囲を、$a > 0$と$a < 0$の場合に分けて求めよ。

(4) $a > 0$とする。

(i) ③と④を同時に満たすxが存在するようなaの値の範囲を求めよ。

(ii) ①、②、③、④を同時に満たす正の整数xがちょうど2個存在するようなaの値の範囲を求めよ。

2. 解き方の手順

(1) ①の不等式を解きます。

$3x + 15 \geq 5x + 5$

$-2x \geq -10$

$x \leq 5$

(2) ②の不等式を解きます。

$\frac{x-2}{3} > \frac{x-1}{4}$

$4(x-2) > 3(x-1)$

$4x - 8 > 3x - 3$

$x > 5$

①と②を同時に満たすxの範囲を求めます。

$x \leq 5$と$x > 5$を同時に満たすxは存在しません。

(3) ③の不等式を解きます。

$a(3x - 2a) \geq ax + 2a$

$3ax - 2a^2 \geq ax + 2a$

$2ax \geq 2a^2 + 2a$

$x \geq \frac{2a^2+2a}{2a}$

$x \geq a + 1$ （a > 0のとき）

$x \leq a+1$ (a < 0のとき)

④の不等式を解きます。

$\sqrt{5}(\sqrt{5} - a) \leq 5 - x < 7$

$5 - a\sqrt{5} \leq 5 - x < 7$

$- a\sqrt{5} \leq - x < 2$

$-2 < x \leq a\sqrt{5}$

(4)(i) $a > 0$のとき、③と④を同時に満たすxが存在するためには、$a+1 \leq a\sqrt{5}$が成り立つ必要があります。

$1 \leq a(\sqrt{5}-1)$

$a \geq \frac{1}{\sqrt{5} - 1} = \frac{\sqrt{5} + 1}{4}$

(4)(ii) ①、②、③、④を同時に満たす正の整数xがちょうど2個存在するようなaの値を求めます。

①と②を同時に満たすxは存在しないため、この条件を満たすaは存在しません。

3. 最終的な答え

(1) $x \leq 5$

(2) 解なし

(3) $a > 0$のとき、$x \geq a + 1$、$a < 0$のとき、$x \leq a+1$

(4) (i) $a \geq \frac{\sqrt{5} + 1}{4}$

(ii) 解なし