aは0でない定数とし、xについて次の4つの不等式を考える。 ① $3(x+5) \ge 5(x+1)$ ② $\frac{x-2}{2} > \frac{x-1}{4}$ ③ $a(3x-2a) \ge ax + 2a$ ④ $\sqrt{5}(\sqrt{5}-a) \le 5 - x < 7$ (1) ①を満たすxの範囲を求めよ。 (2) ①と②を同時に満たすxの範囲を求めよ。 (3) ③を満たすxの範囲を、$a>0$と$a<0$の場合に分けて求めよ。 (4) $a>0$とする。 (i) ③と④を同時に満たすxが存在するようなaの値の範囲を求めよ。 (ii) ①, ②, ③, ④を同時に満たす正の整数xがちょうど2個存在するようなaの値の範囲を求めよ。

1. 問題の内容

aは0でない定数とし、xについて次の4つの不等式を考える。

① $3(x+5) \ge 5(x+1)$

② $\frac{x-2}{2} > \frac{x-1}{4}$

③ $a(3x-2a) \ge ax + 2a$

④ $\sqrt{5}(\sqrt{5}-a) \le 5 - x < 7$

(1) ①を満たすxの範囲を求めよ。

(2) ①と②を同時に満たすxの範囲を求めよ。

(3) ③を満たすxの範囲を、$a>0$と$a<0$の場合に分けて求めよ。

(4) $a>0$とする。

(i) ③と④を同時に満たすxが存在するようなaの値の範囲を求めよ。

(ii) ①, ②, ③, ④を同時に満たす正の整数xがちょうど2個存在するようなaの値の範囲を求めよ。

2. 解き方の手順

(1) 不等式①を解く。

$3(x+5) \ge 5(x+1)$

$3x + 15 \ge 5x + 5$

$-2x \ge -10$

$x \le 5$

(2) 不等式②を解く。

$\frac{x-2}{2} > \frac{x-1}{4}$

$2(x-2) > x-1$

$2x - 4 > x - 1$

$x > 3$

①と②を同時に満たすxの範囲は、 $3 < x \le 5$

(3) 不等式③を解く。

$a(3x-2a) \ge ax + 2a$

$3ax - 2a^2 \ge ax + 2a$

$2ax \ge 2a^2 + 2a$

$ax \ge a^2 + a$

$a > 0$のとき、$x \ge \frac{a^2 + a}{a} = a+1$

$a < 0$のとき、$x \le \frac{a^2 + a}{a} = a+1$

(4) 不等式④を解く。

$\sqrt{5}(\sqrt{5}-a) \le 5 - x < 7$

$5 - a\sqrt{5} \le 5 - x < 7$

$-a\sqrt{5} \le -x < 2$

$-2 < x \le a\sqrt{5}$

(i) $a > 0$のとき、③と④を同時に満たすxが存在する条件を求める。

③より、$x \ge a+1$

④より、$-2 < x \le a\sqrt{5}$

よって、$a+1 \le a\sqrt{5}$であれば良い。

$1 \le a(\sqrt{5} - 1)$

$a \ge \frac{1}{\sqrt{5}-1} = \frac{\sqrt{5} + 1}{4}$

(ii) ①, ②, ③, ④を同時に満たす正の整数xがちょうど2個存在するようなaの範囲を求める。

①と②より、$3 < x \le 5$

正の整数xは4と5なので、$x=4,5$

③より、$x \ge a+1$だから、$a+1 \le 4$ すなわち$a \le 3$

④より、$-2 < x \le a\sqrt{5}$ だから、$5 \le a\sqrt{5}$ すなわち$a \ge \sqrt{5}$

また、$a \sqrt{5} < 6$ でなければならない。なぜなら、$x=6$が含まれてしまうから。

$a < \frac{6}{\sqrt{5}} = \frac{6\sqrt{5}}{5}$

したがって、$\sqrt{5} \le a \le 3$ かつ $a < \frac{6\sqrt{5}}{5}$

$\sqrt{5} \le a < \frac{6\sqrt{5}}{5} \approx 2.68$

4,5が含まれ、3が含まれない条件

$a + 1 \le 4 < 6$

$-2 < 4 \le a \sqrt{5}$

$a + 1 \le 5 < 6$

$5 \le a \sqrt{5} < 6$

$3 < x \le 5$

$x \ge a + 1$

$-2 < x \le a \sqrt{5}$

よって、$a+1 \le 4$, $a+1 < 6$

$a \le 3$

そして、$5 \le a \sqrt{5} < 6$

$\sqrt{5} \le a < \frac{6\sqrt{5}}{5}$

3. 最終的な答え

(1) $x \le 5$

(2) $3 < x \le 5$

(3) $a>0$のとき $x \ge a+1$, $a<0$のとき $x \le a+1$

(4) (i) $a \ge \frac{\sqrt{5}+1}{4}$ (ii) $\sqrt{5} \le a < \frac{6\sqrt{5}}{5}$