与えられた式を因数分解する問題です。 問題は以下の４つです。 (3) $x^4 - 8x^2 + 16$ (4) $x^4 - 81$ (1) $(x - y)^2 + 2(x - y) - 24$ (4) $4x^2 - (y+z)^2$

## 回答

1. 問題の内容

与えられた式を因数分解する問題です。

問題は以下の４つです。

(3) $x^4 - 8x^2 + 16$

(4) $x^4 - 81$

(1) $(x - y)^2 + 2(x - y) - 24$

(4) $4x^2 - (y+z)^2$

2. 解き方の手順

(3) $x^4 - 8x^2 + 16$ の場合

まず、$A = x^2$ と置くと、与式は $A^2 - 8A + 16$ となります。

これは $(A - 4)^2$ と因数分解できます。

$A$ を $x^2$ に戻すと、 $(x^2 - 4)^2$ となります。

さらに、$x^2 - 4$ は $(x - 2)(x + 2)$ と因数分解できるので、最終的に $((x - 2)(x + 2))^2 = (x - 2)^2(x + 2)^2$ となります。

(4) $x^4 - 81$ の場合

$x^4$ を $(x^2)^2$、$81$ を $9^2$ と考えると、$a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$ の公式が使えます。

$x^4 - 81 = (x^2 - 9)(x^2 + 9)$ となります。

さらに、$x^2 - 9$ は $(x - 3)(x + 3)$ と因数分解できるので、最終的に $(x - 3)(x + 3)(x^2 + 9)$ となります。

(1) $(x - y)^2 + 2(x - y) - 24$ の場合

$A = x - y$ と置くと、与式は $A^2 + 2A - 24$ となります。

これは $(A + 6)(A - 4)$ と因数分解できます。

$A$ を $x - y$ に戻すと、 $(x - y + 6)(x - y - 4)$ となります。

(4) $4x^2 - (y + z)^2$ の場合

$4x^2$ を $(2x)^2$ と考えると、$a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$ の公式が使えます。

$4x^2 - (y + z)^2 = (2x - (y + z))(2x + (y + z)) = (2x - y - z)(2x + y + z)$ となります。

3. 最終的な答え

(3) $(x - 2)^2(x + 2)^2$

(4) $(x - 3)(x + 3)(x^2 + 9)$

(1) $(x - y + 6)(x - y - 4)$

(4) $(2x - y - z)(2x + y + z)$