与えられた式 $ab - 4bc - ca + b^2 + 3c^2$ を因数分解する。

1. 問題の内容

与えられた式 $ab - 4bc - ca + b^2 + 3c^2$ を因数分解する。

2. 解き方の手順

与えられた式を因数分解するために、まず$b$について整理する。

\begin{align*}

ab - 4bc - ca + b^2 + 3c^2 &= b^2 + (a - 4c)b + (3c^2 - ca) \\

&= b^2 + (a - 4c)b + c(3c - a)

\end{align*}

次に、たすき掛けを行うことを考える。掛けて$c(3c-a)$となり、足して$a-4c$となる2つの式を見つける。

$c$と$3c-a$を考えると、足し合わせると$4c-a$になる。符号を反転させれば$a-4c$になるので、$-c$と$-(3c-a) = a-3c$を考えると、

$-c + (a-3c) = a - 4c$となり、

$(-c)(a-3c) = -ac + 3c^2 = 3c^2 - ca$となるので、これらを利用できる。

したがって、

\begin{align*}

b^2 + (a - 4c)b + c(3c - a) &= b^2 + (a - 4c)b - c(a - 3c) \\

&= (b-c)(b+a-3c) \\

&= (b-c)(a+b-3c)

\end{align*}

3. 最終的な答え

$(b-c)(a+b-3c)$