$0 \leq \theta < 2\pi$ のとき、方程式 $\cos 2\theta = -\cos \theta$ を満たす $\theta$ の値を求めよ。

1. 問題の内容

$0 \leq \theta < 2\pi$ のとき、方程式 $\cos 2\theta = -\cos \theta$ を満たす $\theta$ の値を求めよ。

2. 解き方の手順

$\cos 2\theta$ を $\cos \theta$ で表すために2倍角の公式 $\cos 2\theta = 2\cos^2 \theta - 1$ を用います。

与えられた方程式は、

$2\cos^2 \theta - 1 = -\cos \theta$

となります。

これを整理すると、

$2\cos^2 \theta + \cos \theta - 1 = 0$

ここで、$x = \cos \theta$ とおくと、

$2x^2 + x - 1 = 0$

この2次方程式を解きます。

$(2x - 1)(x + 1) = 0$

よって、$x = \frac{1}{2}, -1$

つまり、$\cos \theta = \frac{1}{2}$ または $\cos \theta = -1$

$0 \leq \theta < 2\pi$ の範囲で、

$\cos \theta = \frac{1}{2}$ の解は $\theta = \frac{\pi}{3}, \frac{5\pi}{3}$

$\cos \theta = -1$ の解は $\theta = \pi$

3. 最終的な答え

$\theta = \frac{\pi}{3}, \pi, \frac{5\pi}{3}$