$x = \frac{\sqrt{3}+1}{\sqrt{3}-1}$、 $y = \frac{\sqrt{3}-1}{\sqrt{3}+1}$ のとき、$x^3y + xy^3$ の値を求めよ。

## 67 (1) の問題

1. 問題の内容

$x = \frac{\sqrt{3}+1}{\sqrt{3}-1}$、 $y = \frac{\sqrt{3}-1}{\sqrt{3}+1}$ のとき、$x^3y + xy^3$ の値を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、$x$と$y$を簡単にします。

$x = \frac{\sqrt{3}+1}{\sqrt{3}-1} = \frac{(\sqrt{3}+1)(\sqrt{3}+1)}{(\sqrt{3}-1)(\sqrt{3}+1)} = \frac{3+2\sqrt{3}+1}{3-1} = \frac{4+2\sqrt{3}}{2} = 2+\sqrt{3}$

$y = \frac{\sqrt{3}-1}{\sqrt{3}+1} = \frac{(\sqrt{3}-1)(\sqrt{3}-1)}{(\sqrt{3}+1)(\sqrt{3}-1)} = \frac{3-2\sqrt{3}+1}{3-1} = \frac{4-2\sqrt{3}}{2} = 2-\sqrt{3}$

次に、$x+y$ と $xy$ の値を求めます。

$x+y = (2+\sqrt{3}) + (2-\sqrt{3}) = 4$

$xy = (2+\sqrt{3})(2-\sqrt{3}) = 4 - 3 = 1$

与えられた式を変形します。

$x^3y + xy^3 = xy(x^2+y^2)$

$x^2+y^2 = (x+y)^2 - 2xy = (4)^2 - 2(1) = 16-2 = 14$

$x^3y+xy^3 = xy(x^2+y^2) = 1 * 14 = 14$

3. 最終的な答え

$x^3y+xy^3 = 14$

## 67 (2) の問題

1. 問題の内容

$x = \frac{\sqrt{3}+1}{\sqrt{3}-1}$、 $y = \frac{\sqrt{3}-1}{\sqrt{3}+1}$ のとき、$4x^2 + 7xy + 4y^2$ の値を求めよ。

2. 解き方の手順

$x = 2 + \sqrt{3}$ および $y = 2 - \sqrt{3}$ であることはすでにわかっています。また、$x+y = 4$ および $xy = 1$ もわかっています。

$4x^2 + 7xy + 4y^2 = 4(x^2+y^2) + 7xy$

$x^2+y^2 = (x+y)^2 - 2xy = (4)^2 - 2(1) = 16 - 2 = 14$

$4x^2 + 7xy + 4y^2 = 4(14) + 7(1) = 56 + 7 = 63$

3. 最終的な答え

$4x^2 + 7xy + 4y^2 = 63$

## 67 (3) の問題

1. 問題の内容

$x = \frac{\sqrt{3}+1}{\sqrt{3}-1}$、 $y = \frac{\sqrt{3}-1}{\sqrt{3}+1}$ のとき、$x^3 + y^3$ の値を求めよ。

2. 解き方の手順

$x = 2 + \sqrt{3}$ および $y = 2 - \sqrt{3}$ であることはすでにわかっています。また、$x+y = 4$ および $xy = 1$ もわかっています。

$x^3 + y^3 = (x+y)(x^2 - xy + y^2) = (x+y)((x+y)^2 - 3xy)$

$x^3+y^3 = (4)((4)^2 - 3(1)) = (4)(16 - 3) = 4(13) = 52$

3. 最終的な答え

$x^3 + y^3 = 52$

## 68 (1) の問題

1. 問題の内容

$x = \frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{2}$ のとき、$x + \frac{1}{x}$ の値を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、$\frac{1}{x}$ を求めます。

$\frac{1}{x} = \frac{2}{\sqrt{6}+\sqrt{2}} = \frac{2(\sqrt{6}-\sqrt{2})}{(\sqrt{6}+\sqrt{2})(\sqrt{6}-\sqrt{2})} = \frac{2(\sqrt{6}-\sqrt{2})}{6-2} = \frac{2(\sqrt{6}-\sqrt{2})}{4} = \frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{2}$

$x + \frac{1}{x} = \frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{2} = \frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}+\sqrt{6}-\sqrt{2}}{2} = \frac{2\sqrt{6}}{2} = \sqrt{6}$

3. 最終的な答え

$x + \frac{1}{x} = \sqrt{6}$

## 68 (2) の問題

1. 問題の内容

$x = \frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{2}$ のとき、$x^2 + \frac{1}{x^2}$ の値を求めよ。

2. 解き方の手順

$x + \frac{1}{x} = \sqrt{6}$であることはすでにわかっています。

$x^2 + \frac{1}{x^2} = (x+\frac{1}{x})^2 - 2(x)(\frac{1}{x}) = (x+\frac{1}{x})^2 - 2$

$x^2 + \frac{1}{x^2} = (\sqrt{6})^2 - 2 = 6 - 2 = 4$

3. 最終的な答え

$x^2 + \frac{1}{x^2} = 4$