与えられた2次式 $x^2 + (2y+3)x + (y+1)(y+2)$ を因数分解せよ。

1. 問題の内容

与えられた2次式 $x^2 + (2y+3)x + (y+1)(y+2)$ を因数分解せよ。

2. 解き方の手順

与えられた式は $x$ についての2次式である。

定数項が $(y+1)(y+2)$ であることに注目し、足して $2y+3$ 、掛けて $(y+1)(y+2)$ となる2つの式を探す。

$y+1$ と $y+2$ を足すと、$(y+1) + (y+2) = 2y + 3$ となり、$x$ の係数に一致する。

したがって、与えられた2次式は、以下のように因数分解できる。

$x^2 + (2y+3)x + (y+1)(y+2) = (x+(y+1))(x+(y+2))$

これを展開すると、

$(x+(y+1))(x+(y+2)) = x^2 + (y+2)x + (y+1)x + (y+1)(y+2) = x^2 + (y+2+y+1)x + (y+1)(y+2) = x^2 + (2y+3)x + (y+1)(y+2)$

となり、元の式と一致する。

3. 最終的な答え

$(x+y+1)(x+y+2)$