与えられた2変数多項式を因数分解します。 $2x^2 + 5xy + 3y^2 - 4x - 5y + 2$

1. 問題の内容

与えられた2変数多項式を因数分解します。

$2x^2 + 5xy + 3y^2 - 4x - 5y + 2$

2. 解き方の手順

まず、$x$ について整理します。

$2x^2 + (5y - 4)x + (3y^2 - 5y + 2)$

次に、定数項 $3y^2 - 5y + 2$ を因数分解します。

$3y^2 - 5y + 2 = (3y - 2)(y - 1)$

与式が $(ax + by + c)(dx + ey + f)$ の形に因数分解できると仮定し、

定数項を考慮して、以下の形を考えます。

$(2x + ay + b)(x + cy + d)$

$2x^2 + (5y - 4)x + (3y^2 - 5y + 2)$

$= (2x + 3y - 2)(x + y - 1)$

展開して確認します。

$(2x + 3y - 2)(x + y - 1)$

$= 2x^2 + 2xy - 2x + 3xy + 3y^2 - 3y - 2x - 2y + 2$

$= 2x^2 + 5xy + 3y^2 - 4x - 5y + 2$

これは元の式と一致するので、因数分解は正しいです。

3. 最終的な答え

$(2x + 3y - 2)(x + y - 1)$