$x = \frac{3}{3-\sqrt{3}}$、$y = \frac{3}{3+\sqrt{3}}$ のとき、以下の値を求めます。 (1) $x, y$ の分母を有理化する。 (2) $x+y, xy$ の値をそれぞれ求める。 (3) $x^2+y^2$ の値を求める。

はい、承知いたしました。問題15の解法を以下に示します。

1. 問題の内容

$x = \frac{3}{3-\sqrt{3}}$、$y = \frac{3}{3+\sqrt{3}}$ のとき、以下の値を求めます。

(1) $x, y$ の分母を有理化する。

(2) $x+y, xy$ の値をそれぞれ求める。

(3) $x^2+y^2$ の値を求める。

2. 解き方の手順

(1) $x, y$ の分母の有理化

$x = \frac{3}{3-\sqrt{3}}$ の分母を有理化します。分母と分子に $3+\sqrt{3}$ をかけます。

$x = \frac{3(3+\sqrt{3})}{(3-\sqrt{3})(3+\sqrt{3})} = \frac{3(3+\sqrt{3})}{9-3} = \frac{3(3+\sqrt{3})}{6} = \frac{3+\sqrt{3}}{2}$

$y = \frac{3}{3+\sqrt{3}}$ の分母を有理化します。分母と分子に $3-\sqrt{3}$ をかけます。

$y = \frac{3(3-\sqrt{3})}{(3+\sqrt{3})(3-\sqrt{3})} = \frac{3(3-\sqrt{3})}{9-3} = \frac{3(3-\sqrt{3})}{6} = \frac{3-\sqrt{3}}{2}$

(2) $x+y, xy$ の値を求める

$x+y = \frac{3+\sqrt{3}}{2} + \frac{3-\sqrt{3}}{2} = \frac{3+\sqrt{3}+3-\sqrt{3}}{2} = \frac{6}{2} = 3$

$xy = \frac{3+\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{3-\sqrt{3}}{2} = \frac{(3+\sqrt{3})(3-\sqrt{3})}{4} = \frac{9-3}{4} = \frac{6}{4} = \frac{3}{2}$

(3) $x^2+y^2$ の値を求める

$(x+y)^2 = x^2 + 2xy + y^2$ より、$x^2 + y^2 = (x+y)^2 - 2xy$ です。

$x^2 + y^2 = (3)^2 - 2 \cdot \frac{3}{2} = 9 - 3 = 6$

3. 最終的な答え

(1) $x = \frac{3+\sqrt{3}}{2}, y = \frac{3-\sqrt{3}}{2}$

(2) $x+y = 3, xy = \frac{3}{2}$

(3) $x^2+y^2 = 6$