与えられた6つの式を因数分解する問題です。

## 因数分解の問題

1. 問題の内容

与えられた6つの式を因数分解する問題です。

2. 解き方の手順

(1) $x^4 - 7x^2 - 18$

$x^2 = X$ とおくと、$X^2 - 7X - 18$ となります。

これを因数分解すると、$(X - 9)(X + 2)$ となります。

$X$ を $x^2$ に戻すと、$(x^2 - 9)(x^2 + 2)$ となります。

さらに、$x^2 - 9$ は $(x - 3)(x + 3)$ と因数分解できます。

したがって、$x^4 - 7x^2 - 18 = (x - 3)(x + 3)(x^2 + 2)$

(2) $x^4 - 256$

これは、$a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$ の公式を利用できます。

$x^4 - 256 = (x^2)^2 - (16)^2 = (x^2 - 16)(x^2 + 16)$

さらに、$x^2 - 16 = (x - 4)(x + 4)$ と因数分解できます。

したがって、$x^4 - 256 = (x - 4)(x + 4)(x^2 + 16)$

(3) $81x^4 - 18x^2 + 1$

$9x^2 = X$ とおくと、$X^2 - 2X + 1$ となります。

これは $(X - 1)^2$ と因数分解できます。

$X$ を $9x^2$ に戻すと、$(9x^2 - 1)^2$ となります。

$9x^2 - 1 = (3x - 1)(3x + 1)$なので、

$(9x^2 - 1)^2 = ((3x - 1)(3x + 1))^2 = (3x - 1)^2(3x + 1)^2$

(4) $4x^4 - 13x^2 + 9$

$x^2 = X$ とおくと、$4X^2 - 13X + 9$ となります。

これは $(4X - 9)(X - 1)$ と因数分解できます。

$X$ を $x^2$ に戻すと、$(4x^2 - 9)(x^2 - 1)$ となります。

$4x^2 - 9 = (2x - 3)(2x + 3)$、 $x^2 - 1 = (x - 1)(x + 1)$ と因数分解できます。

したがって、$4x^4 - 13x^2 + 9 = (2x - 3)(2x + 3)(x - 1)(x + 1)$

(5) $(x^2 + 3x)^2 - 6(x^2 + 3x) - 16$

$x^2 + 3x = X$ とおくと、$X^2 - 6X - 16$ となります。

これを因数分解すると、$(X - 8)(X + 2)$ となります。

$X$ を $x^2 + 3x$ に戻すと、$(x^2 + 3x - 8)(x^2 + 3x + 2)$ となります。

$x^2 + 3x + 2 = (x + 1)(x + 2)$ と因数分解できます。

したがって、$(x^2 + 3x)^2 - 6(x^2 + 3x) - 16 = (x^2 + 3x - 8)(x + 1)(x + 2)$

(6) $(x^2 - x)^2 - 22(x^2 - x) + 40$

$x^2 - x = X$ とおくと、$X^2 - 22X + 40$ となります。

これを因数分解すると、$(X - 20)(X - 2)$ となります。

$X$ を $x^2 - x$ に戻すと、$(x^2 - x - 20)(x^2 - x - 2)$ となります。

$x^2 - x - 20 = (x - 5)(x + 4)$、 $x^2 - x - 2 = (x - 2)(x + 1)$ と因数分解できます。

したがって、$(x^2 - x)^2 - 22(x^2 - x) + 40 = (x - 5)(x + 4)(x - 2)(x + 1)$

3. 最終的な答え

(1) $(x - 3)(x + 3)(x^2 + 2)$

(2) $(x - 4)(x + 4)(x^2 + 16)$

(3) $(3x - 1)^2(3x + 1)^2$

(4) $(2x - 3)(2x + 3)(x - 1)(x + 1)$

(5) $(x^2 + 3x - 8)(x + 1)(x + 2)$

(6) $(x - 5)(x + 4)(x - 2)(x + 1)$