与えられた式 $ab - 4bc - ca + b^2 + 3c^2$ を因数分解せよ。

1. 問題の内容

与えられた式 $ab - 4bc - ca + b^2 + 3c^2$ を因数分解せよ。

2. 解き方の手順

与えられた式を整理して、因数分解しやすい形に変形します。

まず、$b$について整理すると以下のようになります。

$b^2 + (a - 4c)b + (3c^2 - ca)$

次に、定数項$3c^2 - ca$を因数分解します。

$3c^2 - ca = c(3c - a)$

元の式は、

$b^2 + (a - 4c)b + c(3c - a)$

ここで、$a - 4c = -(3c - a) - c$に注目します。

すると、$b^2 + (a - 4c)b + c(3c - a) = b^2 + (-(3c - a) - c)b + c(3c - a) = b^2 - (3c - a)b - cb + c(3c - a)$となります。

$=b[b - (3c - a)] - c[b - (3c - a)]$

$=(b - c)[b - (3c - a)]$

$=(b - c)(b - 3c + a)$

$=(b - c)(a + b - 3c)$

3. 最終的な答え

$(b - c)(a + b - 3c)$