与えられた式 $3x^2 - 3xy - 6y^2 + 5x - y + 2$ を因数分解します。

1. 問題の内容

与えられた式 $3x^2 - 3xy - 6y^2 + 5x - y + 2$ を因数分解します。

2. 解き方の手順

まず、$x$ について整理します。

$3x^2 + (-3y + 5)x + (-6y^2 - y + 2)$

次に、定数項 $-6y^2 - y + 2$ を因数分解します。

$-6y^2 - y + 2 = -(6y^2 + y - 2) = -(2y-1)(3y+2)$

式全体が因数分解できると仮定すると、

$(3x + ay + b)(x + cy + d)$ の形になるはずです。

$3x^2 + (-3y + 5)x + (-6y^2 - y + 2) = (3x + ay + b)(x + cy + d)$

より、

$ac = -6$

$ad + bc = -1$

$bd = 2$

$a + 3c = -3$

$3d + b = 5$

となるような $a, b, c, d$ を見つけます。

$-6y^2 - y + 2 = -(2y - 1)(3y + 2)$ より、$2y-1$ と $3y+2$ が現れることが予想できます。

したがって、$(3x+2y+b)(x-3y+d)$ のように仮定してみます。

このとき、$3x^2 -9xy + 3dx + 2xy - 6y^2 + 2dy + bx - 3by + bd$ となります。

$3x^2 -7xy - 6y^2 + (3d+b)x + (2d-3b)y + bd$

$3d + b = 5$

$2d - 3b = -1$

$bd = 2$

$3d + b = 5$ より、$b = 5 - 3d$

$2d - 3(5 - 3d) = -1$

$2d - 15 + 9d = -1$

$11d = 14$

$d = \frac{14}{11}$

これは、$bd = 2$ を満たさないので、別の組み合わせを探します。

$(3x-3y+a)(x+2y+b)$ のように仮定してみます。

このとき、$3x^2 + 6xy + 3bx -3xy - 6y^2 -3by + ax + 2ay + ab$ となります。

$3x^2 + 3xy - 6y^2 + (3b+a)x + (2a-3b)y + ab$

$3b+a = 5$

$2a-3b = -1$

$ab = 2$

$a = 5-3b$

$2(5-3b)-3b = -1$

$10-6b-3b = -1$

$11 = 9b$

$b = \frac{11}{9}$

$(3x + (2y + 1))(x - (3y - 2))$

$(3x+2y+1)(x-3y+2)$

$=3x^2 -9xy +6x + 2xy -6y^2 +4y + x - 3y + 2$

$=3x^2 -7xy -6y^2 +7x +y + 2$

うまくいきません。

式をよく見ると、$3x^2 - 3xy - 6y^2 + 5x - y + 2$ は、

$3x^2 - 3xy - 6y^2 = (3x + 3y)(x-2y)$ と因数分解できるので、

$(3x + ay + b)(x + cy + d)$ の形を考えたとき、$a+3c=-3$を満たすような組み合わせを探します。

$(3x + 3y + 2)(x - 2y + 1) = 3x^2 -6xy + 3x + 3xy -6y^2 + 3y + 2x - 4y + 2 = 3x^2 -3xy -6y^2 + 5x - y + 2$

これが求める因数分解です。

3. 最終的な答え

$(3x + 3y + 2)(x - 2y + 1)$