与えられた式 $x^2 - x + \frac{1}{4}$ を因数分解します。

はい、承知いたしました。問題の指示に従って、与えられた数学の問題を解いていきます。

まず問題の中から、最初の一つ $x^2 - x + \frac{1}{4}$ を解きます。

1. 問題の内容

与えられた式 $x^2 - x + \frac{1}{4}$ を因数分解します。

2. 解き方の手順

この式は、平方の公式 $a^2 - 2ab + b^2 = (a-b)^2$ を利用して因数分解できます。

$x^2 - x + \frac{1}{4}$ を見ると、

$x^2$ は $a^2$ に対応し、$a = x$ です。

$\frac{1}{4}$ は $b^2$ に対応し、$b = \frac{1}{2}$ です。

$-x$ は $-2ab$ に対応することを確認します。

$-2ab = -2(x)(\frac{1}{2}) = -x$ なので、問題ありません。

したがって、$x^2 - x + \frac{1}{4} = (x - \frac{1}{2})^2$ と因数分解できます。

3. 最終的な答え

$(x - \frac{1}{2})^2$

次に、2番目の問題 $8ab - 2a^2 - 8b^2$ を解きます。

1. 問題の内容

与えられた式 $8ab - 2a^2 - 8b^2$ を因数分解します。

2. 解き方の手順

まず、与えられた式を整理します。

$-2a^2 + 8ab - 8b^2$

次に、共通因数 -2 でくくります。

$-2(a^2 - 4ab + 4b^2)$

括弧の中は、平方の公式 $a^2 - 2ab + b^2 = (a-b)^2$ を利用して因数分解できます。

$a^2 - 4ab + 4b^2 = (a - 2b)^2$

したがって、$-2(a^2 - 4ab + 4b^2) = -2(a - 2b)^2$ と因数分解できます。

3. 最終的な答え

$-2(a - 2b)^2$

次に、3番目の問題 $6a^3 - 24ab^2$ を解きます。

1. 問題の内容

与えられた式 $6a^3 - 24ab^2$ を因数分解します。

2. 解き方の手順

まず、共通因数 $6a$ でくくります。

$6a(a^2 - 4b^2)$

次に、括弧の中は、差の平方の公式 $a^2 - b^2 = (a+b)(a-b)$ を利用して因数分解できます。

$a^2 - 4b^2 = (a + 2b)(a - 2b)$

したがって、$6a(a^2 - 4b^2) = 6a(a + 2b)(a - 2b)$ と因数分解できます。

3. 最終的な答え

$6a(a + 2b)(a - 2b)$

次に、4番目の問題 $8x^3y - 98xy^3$ を解きます。

1. 問題の内容

与えられた式 $8x^3y - 98xy^3$ を因数分解します。

2. 解き方の手順

まず、共通因数 $2xy$ でくくります。

$2xy(4x^2 - 49y^2)$

次に、括弧の中は、差の平方の公式 $a^2 - b^2 = (a+b)(a-b)$ を利用して因数分解できます。

$4x^2 - 49y^2 = (2x + 7y)(2x - 7y)$

したがって、$2xy(4x^2 - 49y^2) = 2xy(2x + 7y)(2x - 7y)$ と因数分解できます。

3. 最終的な答え

$2xy(2x + 7y)(2x - 7y)$

次に、5番目の問題 $a^2b^2 + 2ab - 3$ を解きます。

1. 問題の内容

与えられた式 $a^2b^2 + 2ab - 3$ を因数分解します。

2. 解き方の手順

$ab = X$ と置くと、

$X^2 + 2X - 3$ となります。

これは、$X^2 + (3-1)X + 3*(-1) = (X+3)(X-1)$ と因数分解できます。

$X$を元に戻すと、

$(ab + 3)(ab - 1)$ となります。

3. 最終的な答え

$(ab + 3)(ab - 1)$

次に、6番目の問題 $x^3 - x^2y - 30xy^2$ を解きます。

1. 問題の内容

与えられた式 $x^3 - x^2y - 30xy^2$ を因数分解します。

2. 解き方の手順

共通因数$x$で括ります。

$x(x^2 - xy - 30y^2)$

$x(x - 6y)(x + 5y)$

3. 最終的な答え

$x(x - 6y)(x + 5y)$

次に、7番目の問題 $(2m - 3n)^2 - (m - n)^2$ を解きます。

1. 問題の内容

与えられた式 $(2m - 3n)^2 - (m - n)^2$ を因数分解します。

2. 解き方の手順

差の平方の公式を利用します。$A^2 - B^2 = (A - B)(A + B)$

$((2m - 3n) - (m - n))((2m - 3n) + (m - n)) = (2m - 3n - m + n)(2m - 3n + m - n) = (m - 2n)(3m - 4n)$

3. 最終的な答え

$(m - 2n)(3m - 4n)$

最後に、8番目の問題 $abx^2 - (a^2 + b^2)x + ab$ を解きます。

1. 問題の内容

与えられた式 $abx^2 - (a^2 + b^2)x + ab$ を因数分解します。

2. 解き方の手順

$abx^2 - a^2x - b^2x + ab$

$ax(bx - a) - b(bx - a)$

$(ax - b)(bx - a)$

3. 最終的な答え

$(ax - b)(bx - a)$