与えられた多項式 $4a^3 - 14a^2b + 12ab^2$ を因数分解してください。

1. 問題の内容

与えられた多項式 $4a^3 - 14a^2b + 12ab^2$ を因数分解してください。

2. 解き方の手順

ステップ1: 全ての項に共通する因子を見つけます。この場合、全ての項は $2a$ で割り切れます。

$2a$ をくくりだします。

$4a^3 - 14a^2b + 12ab^2 = 2a(2a^2 - 7ab + 6b^2)$

ステップ2: カッコ内の二次式 $2a^2 - 7ab + 6b^2$ を因数分解します。

これは二次式であり、以下の形式で因数分解できます。

$2a^2 - 7ab + 6b^2 = (pa + qb)(ra + sb)$

ここで、$p, q, r, s$ は整数です。

$pr = 2$, $qs = 6$, $ps + qr = -7$ を満たす必要があります。

$p = 2$, $r = 1$, $q = -3$, $s = -2$ とすると、$ps + qr = 2(-2) + (-3)(1) = -4 - 3 = -7$ となり条件を満たします。

したがって、$2a^2 - 7ab + 6b^2 = (2a - 3b)(a - 2b)$ となります。

ステップ3: 元の式に戻して、因数分解の結果をまとめます。

$4a^3 - 14a^2b + 12ab^2 = 2a(2a^2 - 7ab + 6b^2) = 2a(2a - 3b)(a - 2b)$

3. 最終的な答え

$2a(2a - 3b)(a - 2b)$