次の式を展開せよ。 $(x+y)^3(x-y)^3$

## (1)の問題

1. 問題の内容

次の式を展開せよ。

$(x+y)^3(x-y)^3$

2. 解き方の手順

まず、$(x+y)(x-y)$ を計算すると、$x^2 - y^2$ になります。

したがって、

$(x+y)^3(x-y)^3 = [(x+y)(x-y)]^3 = (x^2-y^2)^3$

となります。

次に、$(x^2-y^2)^3$ を展開します。二項定理または $(a-b)^3 = a^3 - 3a^2b + 3ab^2 - b^3$ を使います。

$(x^2-y^2)^3 = (x^2)^3 - 3(x^2)^2(y^2) + 3(x^2)(y^2)^2 - (y^2)^3$

$= x^6 - 3x^4y^2 + 3x^2y^4 - y^6$

3. 最終的な答え

$x^6 - 3x^4y^2 + 3x^2y^4 - y^6$

## (2)の問題

1. 問題の内容

次の式を展開せよ。

$(a+b)^2(a^2-ab+b^2)^2$

2. 解き方の手順

まず、$(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$

次に、$(a^2-ab+b^2)^2$ を計算します。

$(a^2-ab+b^2)^2 = (a^2-ab+b^2)(a^2-ab+b^2)$

$= a^4 - a^3b + a^2b^2 - a^3b + a^2b^2 - ab^3 + a^2b^2 - ab^3 + b^4$

$= a^4 - 2a^3b + 3a^2b^2 - 2ab^3 + b^4$

よって、

$(a+b)^2(a^2-ab+b^2)^2 = (a^2+2ab+b^2)(a^4-2a^3b+3a^2b^2-2ab^3+b^4)$

$= a^6 - 2a^5b + 3a^4b^2 - 2a^3b^3 + a^2b^4 + 2a^5b - 4a^4b^2 + 6a^3b^3 - 4a^2b^4 + 2ab^5 + a^4b^2 - 2a^3b^3 + 3a^2b^4 - 2ab^5 + b^6$

$= a^6 + ( -2a^5b + 2a^5b) + (3a^4b^2 - 4a^4b^2 + a^4b^2) + (-2a^3b^3 + 6a^3b^3 - 2a^3b^3) + (a^2b^4 - 4a^2b^4 + 3a^2b^4) + (2ab^5 - 2ab^5) + b^6$

$= a^6 + 2a^3b^3 + b^6$

3. 最終的な答え

$a^6 + 2a^3b^3 + b^6$

## (3)の問題

1. 問題の内容

次の式を展開せよ。

$(x+y)(x-y)(x^2+xy+y^2)(x^2-xy+y^2)$

2. 解き方の手順

まず、$(x+y)(x-y)=x^2-y^2$。

次に、$(x^2+xy+y^2)(x^2-xy+y^2)$を展開する。

$(x^2+y^2+xy)(x^2+y^2-xy) = (x^2+y^2)^2 - (xy)^2$

$= x^4 + 2x^2y^2 + y^4 - x^2y^2$

$= x^4 + x^2y^2 + y^4$

よって、

$(x+y)(x-y)(x^2+xy+y^2)(x^2-xy+y^2) = (x^2-y^2)(x^4+x^2y^2+y^4)$

$= x^6 + x^4y^2 + x^2y^4 - x^4y^2 - x^2y^4 - y^6$

$= x^6 - y^6$

3. 最終的な答え

$x^6 - y^6$