与えられた多項式 $x^4 + x^3 - x - 1$ を因数分解する問題です。

1. 問題の内容

与えられた多項式 $x^4 + x^3 - x - 1$ を因数分解する問題です。

2. 解き方の手順

まず、項をグループ化して共通因数を見つけます。

$x^4 + x^3$ から $x^3$ を、$-x - 1$ から $-1$ をそれぞれくくり出すことを考えます。

$x^4 + x^3 - x - 1 = x^3(x+1) - 1(x+1)$

共通因数 $(x+1)$ でくくり出すと、

$x^3(x+1) - 1(x+1) = (x^3 - 1)(x+1)$

次に、$x^3 - 1$ を因数分解します。これは $a^3 - b^3 = (a-b)(a^2 + ab + b^2)$ の公式を利用して、$a=x$, $b=1$ とすると、

$x^3 - 1 = (x-1)(x^2 + x + 1)$

したがって、元の多項式は以下のように因数分解できます。

$x^4 + x^3 - x - 1 = (x-1)(x^2 + x + 1)(x+1)$

3. 最終的な答え

$(x-1)(x+1)(x^2+x+1)$