$\|a\|=3$, $\|b\|=4$, $a \cdot b = 4$ のとき、$\|a-b\|^2$ の値を求めよ。

1. 問題の内容

$\|a\|=3$, $\|b\|=4$, $a \cdot b = 4$ のとき、$\|a-b\|^2$ の値を求めよ。

2. 解き方の手順

$\|a-b\|^2$ を展開する。ベクトルの大きさの2乗は、ベクトル自身の内積で表せる。

$\|a-b\|^2 = (a-b) \cdot (a-b)$

$= a \cdot a - 2a \cdot b + b \cdot b$

$= \|a\|^2 - 2a \cdot b + \|b\|^2$

与えられた条件を代入する。

$\|a\|=3$, $\|b\|=4$, $a \cdot b = 4$

$\|a\|^2 = 3^2 = 9$

$\|b\|^2 = 4^2 = 16$

よって、

$\|a-b\|^2 = \|a\|^2 - 2a \cdot b + \|b\|^2 = 9 - 2(4) + 16 = 9 - 8 + 16 = 17$

3. 最終的な答え

17