与えられた式 $x^2 + xy - 2x - 3y - 3$ を因数分解する問題です。

1. 問題の内容

与えられた式 $x^2 + xy - 2x - 3y - 3$ を因数分解する問題です。

2. 解き方の手順

与えられた式を因数分解するために、いくつかの項をグループ化して共通因数を見つけます。

まず、式を以下のように書き換えます。

$x^2 + xy - 2x - 3y - 3 = (x^2 - 2x) + (xy - 3y) - 3$

第一項 $(x^2 - 2x)$ から $x$ を括り出し、第二項 $(xy - 3y)$ から $y$ を括り出します。

$x(x - 2) + y(x - 3) - 3$

しかし、この形では因数分解を進めることが難しいです。別の方法を試します。

$x$ を含む項と含まない項でグループ化します。

$x^2 + xy - 2x - 3y - 3 = x^2 + (y - 2)x - (3y + 3)$

この式を $x$ の二次式とみて、解の公式を用いることを検討します。しかし、係数が複雑になるため、別の方法を試します。

式を整理し、定数項を調整することで因数分解を試みます。

$x^2 + xy - 2x - 3y - 3 = x^2 + xy - 2x - 3y + (x-3) - (x-3) - 3$

$=x(x+y-2) -3(y+1)$

式全体を $(x+a)(x+b)$ の形に変形できるか試します。展開すると $x^2+(a+b)x+ab$ となります。

与えられた式から、$x^2 + xy - 2x - 3y - 3 = x^2 + (y-2)x - (3y+3)$ と見ると、$a+b = y-2$ と $ab = -(3y+3)$ を満たす $a, b$ を見つける必要があります。

$ab = -3(y+1)$ より、$a = -3, b = y+1$ を仮定すると、$a+b = y+1-3 = y-2$ となり、条件を満たします。

したがって、$x^2 + (y-2)x - 3(y+1) = (x-3)(x+y+1)$ と因数分解できます。

3. 最終的な答え

$(x-3)(x+y+1)$