2次方程式 $x^2 + (a-3)x - a^2 + 2 = 0$ が虚数解を持つような定数 $a$ の値の範囲を求める問題です。

1. 問題の内容

2次方程式 $x^2 + (a-3)x - a^2 + 2 = 0$ が虚数解を持つような定数 $a$ の値の範囲を求める問題です。

2. 解き方の手順

2次方程式が虚数解を持つための条件は、判別式 $D$ が負であることです。

判別式 $D$ は、$D = b^2 - 4ac$ で計算されます。

この問題では、$a = 1$, $b = a - 3$, $c = -a^2 + 2$ なので、判別式は次のようになります。

$D = (a-3)^2 - 4(1)(-a^2+2) = a^2 - 6a + 9 + 4a^2 - 8 = 5a^2 - 6a + 1$

虚数解を持つためには、$D < 0$ でなければなりません。

したがって、$5a^2 - 6a + 1 < 0$ を解きます。

$5a^2 - 6a + 1 = (5a - 1)(a - 1)$ なので、

$(5a - 1)(a - 1) < 0$ となります。

この不等式を解くと、$\frac{1}{5} < a < 1$ となります。

3. 最終的な答え

$\frac{1}{5} < a < 1$