問題は、次の2つの式を因数分解することです。 (2) $x^4 - 11x^2y^2 + y^4$ (4) $x^4 + 4y^4$

1. 問題の内容

問題は、次の2つの式を因数分解することです。

(2) $x^4 - 11x^2y^2 + y^4$

(4) $x^4 + 4y^4$

2. 解き方の手順

(2) $x^4 - 11x^2y^2 + y^4$を因数分解します。

まず、$x^4 + 2x^2y^2 + y^4$を考えます。

これは$(x^2 + y^2)^2$と因数分解できます。

元の式と比較すると、$2x^2y^2$から$-11x^2y^2$に変わっているので、$-13x^2y^2$を引けば元の式に戻ります。

しかし、$x^4 + 2x^2y^2 + y^4 - 13x^2y^2$を$(x^2 + y^2)^2 - 13x^2y^2$のように変形しても、因数分解はできません。

そこで、$x^4 - 11x^2y^2 + y^4 = x^4 + 2x^2y^2 + y^4 - 13x^2y^2$ではなく、$x^4 - 11x^2y^2 + y^4 = x^4 - 2x^2y^2 + y^4 - 9x^2y^2$と変形します。

$x^4 - 2x^2y^2 + y^4 = (x^2 - y^2)^2$なので、$x^4 - 11x^2y^2 + y^4 = (x^2 - y^2)^2 - (3xy)^2$となります。

これは、$a^2 - b^2 = (a + b)(a - b)$の公式を使って、

$(x^2 - y^2 + 3xy)(x^2 - y^2 - 3xy)$

$=(x^2 + 3xy - y^2)(x^2 - 3xy - y^2)$と因数分解できます。

(4) $x^4 + 4y^4$を因数分解します。

$x^4 + 4y^4 = (x^2)^2 + (2y^2)^2$と見ることができます。

$x^4 + 4y^4 = x^4 + 4x^2y^2 + 4y^4 - 4x^2y^2$

$= (x^2 + 2y^2)^2 - (2xy)^2$

$= (x^2 + 2y^2 + 2xy)(x^2 + 2y^2 - 2xy)$

$= (x^2 + 2xy + 2y^2)(x^2 - 2xy + 2y^2)$

3. 最終的な答え

(2) $(x^2 + 3xy - y^2)(x^2 - 3xy - y^2)$

(4) $(x^2 + 2xy + 2y^2)(x^2 - 2xy + 2y^2)$