以下の3つの式を簡単にせよ。 (1) $\sqrt{7 + 2\sqrt{10}}$ (2) $\sqrt{12 - 6\sqrt{3}}$ (3) $\sqrt{2 + \sqrt{3}}$

1. 問題の内容

以下の3つの式を簡単にせよ。

(1) $\sqrt{7 + 2\sqrt{10}}$

(2) $\sqrt{12 - 6\sqrt{3}}$

(3) $\sqrt{2 + \sqrt{3}}$

2. 解き方の手順

(1) $\sqrt{7 + 2\sqrt{10}}$

$\sqrt{a+b+2\sqrt{ab}} = \sqrt{a} + \sqrt{b}$を利用する。

$7 = 5 + 2$、$10 = 5 \times 2$なので、$a=5, b=2$とすると、

$\sqrt{7 + 2\sqrt{10}} = \sqrt{5+2+2\sqrt{5\times2}} = \sqrt{5} + \sqrt{2}$

(2) $\sqrt{12 - 6\sqrt{3}}$

$\sqrt{12 - 6\sqrt{3}} = \sqrt{12 - 2\sqrt{27}}$

$\sqrt{a+b-2\sqrt{ab}} = \sqrt{a} - \sqrt{b}$を利用する。

$12 = 9 + 3$、$27 = 9 \times 3$なので、$a=9, b=3$とすると、

$\sqrt{12 - 2\sqrt{27}} = \sqrt{9+3-2\sqrt{9\times3}} = \sqrt{9} - \sqrt{3} = 3 - \sqrt{3}$

(3) $\sqrt{2 + \sqrt{3}}$

2重根号を外すために、$\sqrt{a + \sqrt{b}} = \sqrt{\frac{a + \sqrt{a^2 - b}}{2}} + \sqrt{\frac{a - \sqrt{a^2 - b}}{2}}$を利用する。

$a=2, b=3$なので、

$\sqrt{2 + \sqrt{3}} = \sqrt{\frac{2 + \sqrt{2^2 - 3}}{2}} + \sqrt{\frac{2 - \sqrt{2^2 - 3}}{2}} = \sqrt{\frac{2 + 1}{2}} + \sqrt{\frac{2 - 1}{2}} = \sqrt{\frac{3}{2}} + \sqrt{\frac{1}{2}} = \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}} + \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{3} + 1}{\sqrt{2}}$

分母を有理化すると、$\frac{\sqrt{3} + 1}{\sqrt{2}} = \frac{(\sqrt{3} + 1)\sqrt{2}}{\sqrt{2}\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{2}$

3. 最終的な答え

(1) $\sqrt{5} + \sqrt{2}$

(2) $3 - \sqrt{3}$

(3) $\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{2}$