和と積がそれぞれ与えられたときに、その条件を満たす2つの数を求める問題です。具体的には、以下の3つのケースについて解きます。 (1) 和が2、積が-2 (2) 和が-3、積が4 (3) 和と積がともに2

1. 問題の内容

和と積がそれぞれ与えられたときに、その条件を満たす2つの数を求める問題です。具体的には、以下の3つのケースについて解きます。

(1) 和が2、積が-2

(2) 和が-3、積が4

(3) 和と積がともに2

2. 解き方の手順

2つの数を$x$と$y$とします。和と積が与えられているので、

$x + y = \text{和}$

$x \cdot y = \text{積}$

という連立方程式を解くことになります。

この連立方程式を解くために、$y$を$x$で表し、$x$に関する二次方程式を立てます。

$y = \text{和} - x$

$x \cdot (\text{和} - x) = \text{積}$

これを整理すると、$x$に関する二次方程式が得られます。この二次方程式を解き、$x$の値を求めます。求めた$x$の値を$y = \text{和} - x$に代入することで、$y$の値を求めます。

(1) 和が2、積が-2の場合：

$x + y = 2$

$x \cdot y = -2$

$y = 2 - x$

$x(2 - x) = -2$

$2x - x^2 = -2$

$x^2 - 2x - 2 = 0$

解の公式を用いて、$x = \frac{-(-2) \pm \sqrt{(-2)^2 - 4(1)(-2)}}{2(1)} = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 8}}{2} = \frac{2 \pm \sqrt{12}}{2} = \frac{2 \pm 2\sqrt{3}}{2} = 1 \pm \sqrt{3}$

$x = 1 + \sqrt{3}$のとき、$y = 2 - (1 + \sqrt{3}) = 1 - \sqrt{3}$

$x = 1 - \sqrt{3}$のとき、$y = 2 - (1 - \sqrt{3}) = 1 + \sqrt{3}$

(2) 和が-3、積が4の場合：

$x + y = -3$

$x \cdot y = 4$

$y = -3 - x$

$x(-3 - x) = 4$

$-3x - x^2 = 4$

$x^2 + 3x + 4 = 0$

解の公式を用いて、$x = \frac{-3 \pm \sqrt{3^2 - 4(1)(4)}}{2(1)} = \frac{-3 \pm \sqrt{9 - 16}}{2} = \frac{-3 \pm \sqrt{-7}}{2} = \frac{-3 \pm i\sqrt{7}}{2}$

$x = \frac{-3 + i\sqrt{7}}{2}$のとき、$y = -3 - (\frac{-3 + i\sqrt{7}}{2}) = \frac{-6 + 3 - i\sqrt{7}}{2} = \frac{-3 - i\sqrt{7}}{2}$

$x = \frac{-3 - i\sqrt{7}}{2}$のとき、$y = -3 - (\frac{-3 - i\sqrt{7}}{2}) = \frac{-6 + 3 + i\sqrt{7}}{2} = \frac{-3 + i\sqrt{7}}{2}$

(3) 和と積がともに2の場合：

$x + y = 2$

$x \cdot y = 2$

$y = 2 - x$

$x(2 - x) = 2$

$2x - x^2 = 2$

$x^2 - 2x + 2 = 0$

解の公式を用いて、$x = \frac{-(-2) \pm \sqrt{(-2)^2 - 4(1)(2)}}{2(1)} = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 8}}{2} = \frac{2 \pm \sqrt{-4}}{2} = \frac{2 \pm 2i}{2} = 1 \pm i$

$x = 1 + i$のとき、$y = 2 - (1 + i) = 1 - i$

$x = 1 - i$のとき、$y = 2 - (1 - i) = 1 + i$

3. 最終的な答え

(1) $1 + \sqrt{3}$ と $1 - \sqrt{3}$

(2) $\frac{-3 + i\sqrt{7}}{2}$ と $\frac{-3 - i\sqrt{7}}{2}$

(3) $1 + i$ と $1 - i$