2次関数 $y = x^2 + 2mx - m + 2$ において、$y$ の値が常に正であるとき、定数 $m$ の値の範囲を求める。

1. 問題の内容

2次関数 $y = x^2 + 2mx - m + 2$ において、$y$ の値が常に正であるとき、定数 $m$ の値の範囲を求める。

2. 解き方の手順

$y$ の値が常に正であるということは、$y = 0$ となる実数解が存在しないということである。つまり、2次方程式 $x^2 + 2mx - m + 2 = 0$ が実数解を持たない条件を求めることになる。2次方程式が実数解を持たない条件は、判別式 $D < 0$ である。

判別式 $D$ は

$D = (2m)^2 - 4(1)(-m+2)$

$D = 4m^2 + 4m - 8$

$D = 4(m^2 + m - 2)$

$D < 0$ となるためには

$4(m^2 + m - 2) < 0$

$m^2 + m - 2 < 0$

$(m+2)(m-1) < 0$

したがって、$m$ の範囲は $-2 < m < 1$ となる。

3. 最終的な答え

$-2 < m < 1$