与えられた2重根号の式を簡略化します。具体的には、 (1) $\sqrt{7+2\sqrt{10}}$ (2) $\sqrt{12-6\sqrt{3}}$ をそれぞれ $ \sqrt{a} + \sqrt{b}$ または $\sqrt{a} - \sqrt{b}$ の形に変形します。

1. 問題の内容

与えられた2重根号の式を簡略化します。具体的には、

(1) $\sqrt{7+2\sqrt{10}}$

(2) $\sqrt{12-6\sqrt{3}}$

をそれぞれ $\sqrt{a} + \sqrt{b}$ または $\sqrt{a} - \sqrt{b}$ の形に変形します。

2. 解き方の手順

(1) $\sqrt{7+2\sqrt{10}}$

$7+2\sqrt{10}$ を $(\sqrt{a}+\sqrt{b})^2 = a+b+2\sqrt{ab}$ の形に当てはめます。

$a+b=7$ と $ab=10$ を満たす $a$ と $b$ を見つけます。

$a=5$ と $b=2$ が条件を満たします。

したがって、$\sqrt{7+2\sqrt{10}} = \sqrt{(\sqrt{5}+\sqrt{2})^2} = \sqrt{5}+\sqrt{2}$

(2) $\sqrt{12-6\sqrt{3}} = \sqrt{12-2\sqrt{27}}$

$12-2\sqrt{27}$ を $(\sqrt{a}-\sqrt{b})^2 = a+b-2\sqrt{ab}$ の形に当てはめます。

$a+b=12$ と $ab=27$ を満たす $a$ と $b$ を見つけます。

$a=9$ と $b=3$ が条件を満たします。

したがって、$\sqrt{12-6\sqrt{3}} = \sqrt{(\sqrt{9}-\sqrt{3})^2} = \sqrt{(3-\sqrt{3})^2}=3-\sqrt{3}$

3. 最終的な答え

(1) $\sqrt{7+2\sqrt{10}} = \sqrt{5} + \sqrt{2}$

(2) $\sqrt{12-6\sqrt{3}} = 3 - \sqrt{3}$