$n$次正方行列$A, B$に対して、$I-AB$が正則行列であるとき、以下の$2n$次正方行列 $\begin{bmatrix} I & A \\ B & I \end{bmatrix}$ が正則であることを示す。

1. 問題の内容

$n$次正方行列$A, B$に対して、$I-AB$が正則行列であるとき、以下の$2n$次正方行列

$\begin{bmatrix} I & A \\ B & I \end{bmatrix}$

が正則であることを示す。

2. 解き方の手順

正則行列であることを示すには、その行列式が0でないことを示せば良い。行列式の性質を利用して計算する。

$\begin{bmatrix} I & A \\ B & I \end{bmatrix}$ に、$\begin{bmatrix} I & -A \\ 0 & I \end{bmatrix}$ を右から掛けると、

$\begin{bmatrix} I & A \\ B & I \end{bmatrix}\begin{bmatrix} I & -A \\ 0 & I \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} I & -A+A \\ B & -BA+I \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} I & 0 \\ B & I-BA \end{bmatrix}$

ここで、$|MN|=|M||N|$という性質を利用すると、

$|\begin{bmatrix} I & A \\ B & I \end{bmatrix}| \cdot |\begin{bmatrix} I & -A \\ 0 & I \end{bmatrix}| = |\begin{bmatrix} I & 0 \\ B & I-BA \end{bmatrix}|$

行列式の性質から $|\begin{bmatrix} I & -A \\ 0 & I \end{bmatrix}| = 1$ かつ $|\begin{bmatrix} I & 0 \\ B & I-BA \end{bmatrix}| = |I|\cdot |I-BA| = |I-BA|$

したがって、

$|\begin{bmatrix} I & A \\ B & I \end{bmatrix}| = |I-BA|$

仮定より $I-AB$ は正則なので、$|I-AB| \ne 0$ である。

ここで、$|I-AB| = |I-BA|$ が成り立つことを示す。

$A(I-BA) = A-ABA = (I-AB)A$

両辺の行列式をとると $|A||I-BA|=|I-AB||A|$

$A$ が正則であるとは限らないので、$|I-BA|=|I-AB|$ とは言えない.

しかし、$I-AB$ が正則であるとき、$I-BA$ も正則である。以下に示す。

$X = I + B(I-AB)^{-1}A$ とすると、

$(I-BA)X = (I-BA)(I + B(I-AB)^{-1}A) = I + B(I-AB)^{-1}A - BA - BAB(I-AB)^{-1}A$

$= I + B(I-AB)^{-1}A - BA - B(AB)(I-AB)^{-1}A = I + B(I-AB)^{-1}A - BA - B((I-AB) - I)(I-AB)^{-1}A$

$= I + B(I-AB)^{-1}A - BA - B(I-AB)(I-AB)^{-1}A + BA = I + B(I-AB)^{-1}A - BA - BA + BA = I$

$X(I-BA) = (I + B(I-AB)^{-1}A)(I-BA) = I - BA + B(I-AB)^{-1}A - B(I-AB)^{-1}ABA$

$= I - BA + B(I-AB)^{-1}A - B(I-AB)^{-1}(AB)A = I - BA + B(I-AB)^{-1}A - B(I - (I-AB))(I-AB)^{-1}A$

$= I - BA + B(I-AB)^{-1}A - B((I-AB)^{-1}A - A) = I-BA + BA=I$

つまり、$X = (I-BA)^{-1}$ が存在するので、$I-BA$ は正則。

したがって、$|I-BA| \ne 0$ となる。

$|\begin{bmatrix} I & A \\ B & I \end{bmatrix}| = |I-BA| \ne 0$ より$\begin{bmatrix} I & A \\ B & I \end{bmatrix}$は正則である。

3. 最終的な答え

$I-AB$が正則行列であるならば、$2n$次正方行列$\begin{bmatrix} I & A \\ B & I \end{bmatrix}$は正則である。